Альтернативный вывод и численный анализ оптимальной интерполяционной формулы в гильбертовом пространстве
DOI:
https://doi.org/10.71310/pcam.4-1_75.2026.05Ключевые слова:
оптимальная интерполяция, пространство Соболева, альтернативный метод, функционал погрешности, гиперболический синус, численный эксперимент, порядок сходимостиАннотация
Предпосылки: В статье рассматривается задача оптимальной интерполяции по значениям функции в узлах равномерной сетки в пространстве ????(1,0)2 (0, 1). Коэффициенты этой формулы ранее были получены как частный случай ???? = 1 общего результата для пространства ????(????,????−1)2 (0, 1) методом Соболева с использованием дискретного аналога дифференциального оператора.
Метод: В настоящей работе тот же результат выводится альтернативным способом. Интегрирующий множитель ????(????) = ????????????(????) и монотонная замена координаты ????(????) = (????2???? − 1)/2 преобразуют исходную полунорму в простой энергетический интеграл.
Результаты: Непосредственная минимизация нормы ядра погрешности доказывает локальность оптимальной формулы. Установлено, что полученная локальная формула с гиперболическими синусами точно совпадает с ранее полученной общей формулой при ???? = 1. Получены точная норма функционала погрешности и ее равномерная оценка.
Анализ сходимости: Для гладких функций доказан второй порядок сходимости. Численные результаты для функций ????2, ????2???? и sin ???? подтверждают уменьшение максимальной погрешности при увеличении числа узлов и теоретический порядок ????(ℎ2).
Библиографические ссылки
Sard A. 1949. Best approximate integration formulas; best approximation formulas. American Journal of Mathematics. 71: 80–91. doi: https://doi.org/10.2307/2372099.
Babaev S. S., Mamatova N. Kh., Hayotov A. R. 2017. Optimal interpolation formula in ????(????)2 (0, 1) space. Uzbek Mathematical Journal. 2: 23–31.
Babaev S. S., Hayotov A. R. 2019. Optimal interpolation formulas in the space ????(????,????−1)2 .Calcolo. 56(3): Art. 23. doi: https://doi.org/10.1007/s10092-019-0320-9.
Sobolev S. L. 2006. On interpolation of functions of ???? variables. In: Demidenko G. V., Vaskevich V. L. (eds.) Selected Works of S. L. Sobolev. Volume I: Equations of Mathematical Physics, Computational Mathematics, and Cubature Formulas. Boston, MA: Springer. P. 451–456. doi: https://doi.org/10.1007/978-0-387-34149-1_19.
Mamatova N. Kh., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. 2013. Construction of optimal grid interpolation formulas in Sobolev space ̃︀ ????(????)2 (????) of periodic functions of ???? variables by Sobolev method. Ufa Mathematical Journal. 5(1): 90–101. doi: https://doi.org/10.13108/2013-5-1-90.
Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. 2013. Construction of interpolation splines minimizing semi-norm in ????(????,????−1)2 (0, 1) space. BIT Numerical Mathematics. 53(2): 545–563. doi: https://doi.org/10.1007/s10543-012-0407-z.
Hayotov A. R., Milovanović G. V., Shadimetov Kh. M. 2014. Interpolation splines minimizing a semi-norm. Calcolo. 51(2): 245–260. doi: https://doi.org/10.1007/s10092-013-0080-x.
Cabada A., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. 2014. Construction of ????????-splines in ????(????)2 (0, 1) space by Sobolev method. Applied Mathematics and Computation. 244: 542–551. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.07.033.
Hayotov A. R., Nafasov A. Y., Berdimuradova U. A. 2024. An optimal interpolation formulas with derivative in the space ????(2,1)2 (0, 1). Problems of Computational and Applied Mathematics. 4/2(60): 90–98. https://journals.airi.uz/index.php/pvpm/article/view/66.
Hayotov A. R., Nafasov A. Y. 2025. On an optimal interpolation formula with derivative in a Hilbert space. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3(67): 107–115. doi: https://doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.09.
Hayotov A. R., Babaev S. S., Olimov N. N. 2024. An optimal interpolation formula of Hermite type in the Sobolev space. Filomat. 38(23): 8305–8322. doi: https://doi.org/10.2298/FIL2423305H.
Hayotov A. R., Doniyorov N. N. 2025. Coefficients of optimal interpolation formulas in the Hilbert space of differentiable functions. Lobachevskii Journal of Mathematics. 46: 432–446. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080224608130.
Hayotov A. R., Babaev S. S., Olimov N. N. 2026. Optimal interpolation formula with derivatives in a Sobolev space. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. (2): 49–62. doi: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2026-2-49-62. (In Russian)
Nafasov A. Y. 2025. Norm of the error functional of the optimal interpolation formulas with second derivatives in a Hilbert space. International Scientific Journal of Computing Technologies and Mathematical Modeling. 3(2): 59–66. https://journal.isjctmm.uz/index.php/ijcm/article/view/28.
Nuraliev F. A. 2023. About one optimal interpolation formula in Sobolev space. Problems of Computational and Applied Mathematics. 5(52): 123–132.
Shadimetov Kh. M., Boltaev A. K. 2023. An exponential-trigonometric optimal interpolation formula. Lobachevskii Journal of Mathematics. 44(10): 4379–4392. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080223100359.
Shadimetov Kh. M., Boltaev A. K. 2024. Optimization of the error in exponentialtrigonometric interpolation formula. Journal of Samara State Technical University. Series Physical and Mathematical Sciences. 28(4): 665–681. doi: https://doi.org/10.14498/vsgtu2094. (In Russian)
Babaev S., Hayotov A., Boltaev A., Mirzoyeva S., Mirzaeva M. 2025. The numerical solution of a Fredholm integral equation of the second kind using the Galerkin method based on optimal interpolation. Results in Applied Mathematics. 27: Art. 100607. doi: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2025.100607.
Hayotov A. R., Doniyorov N. N. 2024. Construction of basis functions for finite element methods in a Hilbert space. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki. 46(1): 118–133. doi: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-118-133.
Adams R. A., Fournier J. J. F. 2003. Sobolev spaces. 2nd ed. Amsterdam: Elsevier/Academic Press.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 А.Р. Хаётов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
