Вырожденно-сингулярные эллиптические операторы: точная коэрцитивность, весовая корректность и методы функции Грина для моделей диффузии в опухолевых тканях

Аннотация

Изучено семейство вырожденно-сингулярных краевых задач второго и третьего порядка для эллиптических уравнений, моделирующих аномальную диффузию в гетерогенной опухолевой ткани; все задачи построены на основе одного дифференциального оператора со степенным вырождением по одной переменной и сингулярным младшим членом по другой. В анизотропно взвешенном пространстве Соболева, согласованном с направлением вырождения, доказаны существование и единственность слабого решения нелинейной задачи при малых показателях вырождения и явных условиях малости на сингулярный коэффициент и на рост монотонного реакционного члена, а также внутренняя регулярность решения. Во вспомогательном взвешенном энергетическом пространстве установлен порог коэрцитивности для сингулярного коэффициента, справедливый при обоих знаках коэффициента и при любом показателе вырождения; доказана точность отрицательного порога с помощью явной минимизирующей последовательности для соответствующего неравенства Харди, получены корректность и оценки устойчивости решения. Для соответствующего уравнения третьего порядка сформулированы аналоги задач Дирихле и Неймана, доказан новый принцип экстремума, дающий единственность решения, а существование сведено методом регуляризации Карлемана — Векуа к уравнению Фредгольма второго рода с явной функцией Грина. Разностная схема, проверенная на модельном точном решении со вторым порядком сходимости, подтверждает поведение решений вблизи линии вырождения. Обсуждается биомедицинская интерпретация — диффузия кислорода, лекарства или сигнальной молекулы через некротическую, слабо васкуляризированную опухолевую ткань.