An Application of Optimal Interpolation Formula with Derivative to Approximate Integration

N.N. Olimov

doi:10.71310/pcam.2_72.2026.10

Авторы

Н.Н. Олимов Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.2_72.2026.10

Ключевые слова:

интерполяция, сплайн, квадратурная формула, интегрирование, аппроксимация

Аннотация

В данной работе рассматривается оптимальная интерполяционная формула для производной, построенная в пространстве Соболева ????(4)2 (0, 1). Формула интерполирует неизвестную функцию, используя её значения и производные до порядка в равноотстоящих узлах. Явные выражения для коэффициентов соответствующей квадратурной формулы выводятся интегрированием интерполяционных базисных функций. Представлена теорема, дающая точный вид коэффициентов. Проведены численные эксперименты для нескольких гладких функций, и проанализированы абсолютные погрешности приближённого интегрирования при различных значениях ????. Результаты показывают, что предлагаемый подход обеспечивает высокую точность и может быть эффективно использован для задач численного интегрирования, где доступна информация о производных. Кроме того, исследуется устойчивость предложенной формулы к возмущениям входных данных и обсуждается её асимптотическое поведение при увеличении числа узлов. Сравнение с классическими интерполяционными и квадратурными формулами демонстрирует преимущество включения информации о производных, особенно для функций высокой гладкости. Метод также предоставляет конструктивную основу для расширения оптимальных интерполяционных формул на производные высших порядков и неравномерные сетки. Эти результаты способствуют более широкому развитию оптимальных вычислительных схем в пространствах Соболева и указывают на потенциальные возможности применения при решении краевых задач, дифференциальных уравнений и задач численного моделирования, требующих высокой точности.

Библиографические ссылки

Sobolov S.L. Introduction to the Theory of Cubature Formulas. – Moscow: Nauka, 1974. – 808 p. (Russian). – doi: http://dx.doi.org/10.12691/ajna-2-4-3.

Nuraliev F.A., Shadimetov K.M. Optimal formulas of numerical integration with derivatives in Sobolev space // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics – 2019. – Vol. 11. – Issue 6. – P. 764-775. – doi: http://dx.doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-764-775.

Hayotov A.R., Nafasov A.Y. On an Optimal Interpolation Formula with Derivative in a Hilbert Space // Problems of Computational and Applied Mathematics – 2025. – Vol. 3. – No. 67. – P. 107-115. – doi: http://dx.doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.09.

Shadimetov Kh.M., Boltaev A.K. Optimization of the Approximate Integration Formula Using the Quadrature Formula // International Journal of Analysis and Applications. – 2025. – Vol. 23. – P. 53. – doi: http://dx.doi.org/10.3390/math11143114.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R., Nuraliev F.A. Optimal interpolation formulas with derivative in the space $L_2^{(m)}(0, 1)$ // Filomat. – 2019. – Vol. 33. – P. 5661-5675. – doi: http://dx.doi.org/10.2298/FIL1917661S.

Novak E., Zhang S. Optimal algorithms for numerical integration with Hermite information // Journal of Complexity. – 2022. – Vol. 68. – 101603. – doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.jco.2021.101603.

Kumari A., Kumar M., Sharma S. A Hermite interpolation based numerical method for fractional differential equations // Chaos, Solitons and Fractals – 2021. – Vol. 152. – 111427. – doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2021.111427.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Construction of interpolation splines minimizing semi-norm in $W_2^{(m,m-1)}(0, 1)$ space // Bit Numer. Math. – 2013. – Vol. 53. – No. 2. – P. 545-563. – doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10543-012-0407-z.

Schneider C. Quadrature and Generalized Hermite Interpolation // International Series of Numerical Mathematics. – 1982. – Vol. 57. – P. 212-221. – doi: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-6308-721.

Hayotov A.R., Nuraliev F.A., Abdullaeva G.S. The Coefficients of the Spline Minimizing Semi Norm in $K_2(P_3)$ // International Journal of Analysis and Applications. – 2025. – Vol. 23. – P. 7. – doi: http://dx.doi.org/10.28924/2291-8639-23-2025-7.

Babaev S.S. Consecutive optimization of the weighted quadrature formulas with derivative // Filomat. – 2025. – Vol. 39. – No. 8. – P. 2805-2815. – doi: http://dx.doi.org/10.2298/FIL2508805B.

Nuraliev F.A., Kuziev S.S. Optimal Quadrature Formulas with Derivative in the Space // Modern Problems and Prospects of Applied Mathematics. – 2024. – Vol. 1. – No. 01. – https://ojs.qarshidu.uz/index.php/mp/article/view/509.

Hayotov A.R., Babaev S.S., Olimov N.N. An optimal interpolation formula of Hermite type in the Sobolev space // Filomat. – 2024. – Vol. 23. – P. 8305-8322. – doi: http://dx.doi.org/10.2298/FIL2423305H.

Ajeddar M., Lamnii A. Trigonometric Hermite interpolation method for Fredholm linear integral equations // Journal of Applied Analysis. – 2023. – doi: http://dx.doi.org/10.1515/jaa-2022-2002.

Babaev S.S., Hayotov A.R., Boltaev A., Mirzoyeva S., Mirzaeva M. The numerical solution of a Fredholm integral equation of the second kind using the Galerkin method based on optimal interpolation // Results in Applied Mathematics. – 2025. – Vol. 27. – 100607. – doi: http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.5182812.

Hayotov A.R., Babaev S.S., Kurbonnazarov A. Optimization of approximate integrals of rapidly oscillating functions in the Hilbert space // Results in Applied Mathematics. – 2025. – doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.rinam.2025.100569.

Olimov N.N., Bekmurodova D.B. An optimal interpolation formula with derivatives in Sobolev space // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – Vol. 4. – No. 1. – No. 59. – P. 37-45. – https://journals.airi.uz/index.php/pvpm/article/view/46/43.

Hayotov A.R., Khaitov T.O., Buvasherov D.S. An optimal formula for numerical integration of fractional Riemann-Liouville integral // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – Vol. 4. – No. 1. – No. 59. – P. 142-150. – https://journals.airi.uz/index.php/pvpm/article/view/57.

Shadimetov Kh.M., Akhmedov D.M. Numerical Integration Formulas for Hypersingular Integrals // Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications. – 2024. – Vol. 17. – No. 3. – P. 805-826. – doi: http://dx.doi.org/10.4208/nmtma.OA-2024-0028.

Abdullayeva G.Sh. Construction of an Algebraic-Hyperbolic Natural Tension Spline of Eighth Order // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2025. – Vol. 3. – No. 67. – P. 67-82. – https://journals.airi.uz/index.php/pvpm/article/view/128/113.