Mixed-Composite-Type Equations as a Model of Anomalous Diffusion in Tumor Tissues

N.K. Ochilova

doi:10.71310/pcam.2_72.2026.02

Авторы

Н.К. Очилова Ташкентский государственный университет транспорта Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.2_72.2026.02

Ключевые слова:

функция Грина, потенциал, дуга Жордана, уравнение смешанного типа, условие Липшица, биомедицина, онкология, опухоль, анизотропия

Аннотация

В данной работе рассматривается краевая задача для вырожденного эллиптического уравнения в плоской области, ограниченной отрезком прямой и аналитической кривой. Основное внимание уделено построению явного аналитического решения с использованием функции Грина, а также методов однослойного и двуслойного потенциалов. Представлено строгое доказательство существования и единственности решения при смешанных граничных условиях. Вырожденность на части границы приводит к существенным аналитическим трудностям, что требует применения продвинутых методов теории эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами. Кроме того, обсуждаются потенциальные приложения модели в биомедицинских задачах, в частности в онкологии. Рассматриваемое уравнение описывает аномальные процессы диффузии в опухолевых тканях с учетом пространственной неоднородности среды. Это делает модель ценным инструментом для анализа распределения лекарственных препаратов, кислорода и других веществ в биологических структурах, характеризующихся выраженной анизотропией и гетерогенностью.

Библиографические ссылки

Bitsadze A.V., Salakhitdinov M.S. On the theory of equations of mixed-composite type // Siberian Mathematical Journal. – 1961. – Vol. 2. – No. 1. – P. 7-19.

Islomov B.I., Ochilova N.K., Sadarangani K.S. On a Frankl-type boundary value problem for a mixed-type degenerating equation // Ukrainian Mathematical Journal. – 2019. – Vol. 71. – P. 1347-1359.

Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal boundary value problem for a third-order equation of elliptic-hyperbolic type // Lobachevskii Journal of Mathematics – 2020. – Vol. 41. – No. 1. – P. 32-38.

Abdullaev O.K. On a problem for the degenerating parabolic-hyperbolic equation involving Caputo derivative of fractional order and non-linear terms // Uzbek Mathematical Journal. – 2021. – No. 2. – P. 5-16.

Yuldashev T.K., Islomov B.I., Alikulov E.K. Boundary value problems for a loaded parabolic-hyperbolic equation in infinite three-dimensional domains of third order // Lobachevskii Journal of Mathematics – 2020. – Vol. 41. – No. 5. – P. 926-944.

Ochilova N.K., Yuldashev T.K. On a nonlocal boundary value problem for a degenerate parabolic-hyperbolic equation with fractional derivative // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Vol. 43. – No. 1. – P. 229-236.

Chanillo S., Wheeden R.L. Existence and estimates of Green's function for degenerate elliptic equations // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – 1988. – Vol. 15. – No. 2. – P. 309-340.

Vishik M.I., Grushin V.V. On a class of higher order degenerate elliptic equations // Sbornik Mathematics. – 1969. – Vol. 9. – No. 4. – P. 423-454.

Levendorskii S.Z. Degenerate elliptic equations and boundary problems // Springer Lecture Notes in Mathematics. – 1992. – Vol. 1505. – P. 25-47.

Drábek P. Solvability of degenerate elliptic problems of higher order via Leray–Schauder degree // Hiroshima Mathematical Journal. – 1996. – Vol. 26. – Issue 1. – P. 1-14.

Beisebay P., Berdyshev A., Omarov B. Smoothness of the solution of a boundary value problem for degenerate elliptic equations // Symmetry. – 2025. – Vol. 17. – No. 9. – 1145.

Baishemirov Z., Berdyshev A., Ryskan A. A solution of a boundary value problem with mixed conditions for a four-dimensional degenerate elliptic equation // Mathematics. – 2022. – Vol. 10. – No. 7. – 1094.

Zhang G. The Kato problem and extensions for degenerate elliptic operators of higher order in weighted spaces // arXiv preprint arXiv:2511.04046. – 2025.

Irgashev B.Yu. Boundary value problem for a degenerate high-order equation with discontinuous coefficients // Uzbek Mathematical Journal. – 2021. – Vol. 65. – No. 4. – P. 13-26.

Pankov V.V., Baev A.D., Kharchenko V.D. A priori estimate of solutions of one boundary-value problem in a strip for a higher-order degenerate elliptic equation // Journal of Mathematical Sciences – 2022. – Vol. 264. – P. 452-463.

Ergashev T.G. Potentials for singular elliptic equations and their applications // Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). – 2009. – Vol. 53. – No. 8. – P. 46-57.

Le V.K. On boundary value problems for degenerate quasilinear elliptic equations of higher order // Nonlinear Analysis. – 1998. – Vol. 31. – No. 3. – P. 441-456.

Pukal'skii I.D., Yashan B.O. Optimal control in the boundary value problem for elliptic equations with degeneration // Mathematical Studies. – 2023. – Vol. 60. – No. 2. – P. 45-58.

Barton A. Boundary-value problems for higher-order elliptic equations // Higher-Order Elliptic Equations and Systems. Springer. – 2013. – P. 99-122.

Mukhamedov A., Yusupov F.A. Analysis of some boundary value problems for mixed-type equations with two lines of degeneracy // Irish Interdisciplinary Journal of Science and Research. – 2022. – Vol. 6. – No. 2. – P. 87-96.

Witt I. A calculus for a class of finitely degenerate pseudodifferential operators // Banach Center Publications. – 2003. – Vol. 60. – P. 295-317.