Численное решение трёхмерной связанной динамической задачи термоупругости в деформациях

У.З. Джумаёзов; М.Н. Абдирахмонова; Л.С. Усмонов

doi:10.71310/pcam.5_76.2026.08

Авторы

У.З. Джумаёзов Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова Автор
М.Н. Абдирахмонова Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова Автор
Л.С. Усмонов Научно-исследовательский институт развития цифровых технологий и искусственного интеллекта Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.5_76.2026.08

Ключевые слова:

связанная термоупругость, трёхмерная динамическая задача, постановка в деформациях, метод конечных разностей, явная и неявная схемы, метод переменных направлений

Аннотация

Рассматривается трёхмерная связанная динамическая задача термоупругости для однородного изотропного параллелепипеда. Основными неизвестными являются шесть независимых компонентов тензора деформаций и температура. На основе уравнений движения, соотношений Дюамеля–Неймана и кинематических соотношений Коши получена система динамических уравнений в деформациях, дополненная уравнением теплопроводности. Температурное воздействие учитывается в механических уравнениях, а обратная связь определяется скоростью объёмной деформации. Такая постановка позволяет вычислять деформации непосредственно, без восстановления по производным перемещений. Для численного решения построены явная и неявная конечно-разностные схемы на прямоугольной пространственной сетке. Численный пример рассматривает синусоидальное начальное температурное поле при нулевых начальных деформациях и скоростях их изменения. Выполнено сопоставление температуры и нормальной деформации в различных сечениях параллелепипеда. Сравнение проведено при одинаковых исходных данных в фиксированный момент расчётного времени. Обе схемы воспроизводят близкие пространственные распределения и одинаковое положение центрального максимума. По табличным данным максимальное абсолютное расхождение температуры составляет 0,002, или 0,0108% от максимума неявного решения. Для нормальной деформации максимальное расхождение равно 0,001, а максимальное значение 0,046 совпадает в обеих реализациях. Полученные результаты подтверждают внутреннюю согласованность алгоритмов при совместном определении температурного и деформационного полей.

Библиографические ссылки

Suljevi´c S., Ibrahimbegovic A., Dolarevi´c S. Regularized variational formulation and 3D discrete approximation with enhanced performance in thermo-elasticity and thermodamage // Computational Mechanics. — 2025. — Vol. 76. — P. 1183–1210. — doi: https://doi.org/10.1007/s00466-025-02645-x.

Tan C.-H., Xu B.-B., Zheng Y.-T., Zhang S.-Q., Jiang W.-W., Yang K., Gao X.-W. Analysis of dynamic coupled thermoelasticity problems based on element differential method // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2024. — Vol. 222. — Art. 125216. — doi: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.125216.

Eberle S. FEM–BEM coupling for the thermoelastic wave equation with transparent boundary conditions in 3D // Zeitschrift f¨ur angewandte Mathematik und Physik. — 2022. — Vol. 73. — Art. 163. — doi: https://doi.org/10.1007/s00033-022-01720-0.

Ahn C., Cortiella A., Kim J.-G., Park K. C. Partitioned symmetric formulation and solution algorithm of thermoelastic interaction problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2022. — Vol. 400. — Art. 115529. — doi: https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.115529.

Res´endiz-Flores E. O., Saucedo-Zendejo F. R., Jim´enez-Villalpando A. V. Fully coupled meshfree numerical approach based on the finite pointset method for static linear thermoelasticity problems // Computational Particle Mechanics. — 2022. — Vol. 9. — P. 237–250. — doi: https://doi.org/10.1007/s40571-021-00406-0.

Saucedo-Zendejo F. R., Res´endiz-Flores E. O. Meshfree numerical approach based on the finite pointset method for two-way coupled transient linear thermoelasticity // Computational Particle Mechanics. — 2023. — Vol. 10. — P. 289–302. — doi: https://doi.org/10.1007/s40571-022-00496-4.

Elfar M., Sedaghati R., Abdelsalam O. R. Transient coupled thermo-elasticity analysis of a temperature-dependent thick-walled cylinder under cyclic thermo-mechanical loads // SN Applied Sciences. — 2023. — Vol. 5. — Art. 9. — doi: https://doi.org/10.1007/s42452-022-05228-0.

Xu B.-B., Gao X.-W., Cui M. High precision simulation of thermal-mechanical problems in functionally graded materials by spectral element differential method // Composite Structures. — 2021. — Vol. 270. — Art. 114084. — doi: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.114084.

Knyazeva A. G., Akhmetshin L. R., Smolin I.Yu. Solution of the plane thermoelasticity problems based on a new set of equations // Applied Mathematical Modelling. — 2025. — Vol. 137. — Art. 115652. — doi: https://doi.org/10.1016/j.apm.2024.115652.

Junker P., Wick T. Space-time variational material modeling: a new paradigm demonstrated for thermo-mechanically coupled wave propagation, visco-elasticity, elasto-plasticity with hardening, and gradient-enhanced damage // Computational Mechanics. — 2024. — Vol. 73. — P. 365–402. — doi: https://doi.org/10.1007/s00466-023-02371-2.

Abdalla M., Elbakly M., Shabana A.A. Computational algorithm for the solution of coupled thermomechanical large-displacement problems // Acta Mechanica. — 2025. — Online first. — doi: https://doi.org/10.1007/s00707-025-04479-3.

Abueidda D. W., Mobasher M. E. I-FENN for thermoelasticity based on physics-informed temporal convolutional network (PI-TCN) // Computational Mechanics. — 2024. — Vol. 74. — P. 1229–1259. — doi: https://doi.org/10.1007/s00466-024-02475-3.

Abueidda D. W., Mobasher M. E. Variational temporal convolutional networks for I-FENN thermoelasticity // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2024. — Vol. 429. — Art. 117122. — doi: https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117122.

Bazarra N., Fern´andez J. R., Quintanilla R. Analysis of a Moore–Gibson–Thompson thermoelastic problem // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2021. — Vol. 382. — Art. 113058. — doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.113058.

Bazarra N., Fern´andez J. R., Quintanilla R. A MGT thermoelastic problem with two relaxation parameters // Zeitschrift f¨ur angewandte Mathematik und Physik. — 2023. — Vol. 74. — Art. 197. — doi: https://doi.org/10.1007/s00033-023-02080-z.

Bazarra N., Fern´andez J. R., Quintanilla R. Analysis of two thermoelastic problems with the Green–Lindsay model // Computational and Applied Mathematics. — 2023. — Vol. 42. — Art. 196. — doi: https://doi.org/10.1007/s40314-023-02335-5.

Bazarra N., Fern´andez J. R., Liverani L., Quintanilla R. Analysis of a thermoelastic problem with the Moore–Gibson–Thompson microtemperatures // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2024. — Vol. 438. — Art. 115571. — doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2023.115571.

Van Bockstal K., Marin L. Finite element method for the reconstruction of a time-dependent heat source in isotropic thermoelasticity systems of type-III // Zeitschrift f¨ur angewandte Mathematik und Physik. — 2022. — Vol. 73. — Art. 113. — doi: https://doi.org/10.1007/s00033-022-01750-8.

Bazarra N., Fern´andez J. R., Quintanilla R. Analysis of a one-dimensional nonlocal thermoelastic problem // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 2024. — Vol. 60. — P. 405–420. — doi: https://doi.org/10.1553/etna_vol60s405.

Huang Y., Yan L., Wu H., Yu Y. New insights on generalized heat conduction and thermoelastic coupling models // Applied Mathematics and Mechanics (English Edition). — 2025. — Vol. 46. — P. 1533–1550. — doi: https://doi.org/10.1007/s10483-025-3280-7.

Ismail M. F., Ahmed H. M., Rabie W. B. Construction of exact wave solutions for coupled thermoelasticity theory with temperature dependence using improved modified extended tanh-function method // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2025. — Vol. 37. — Art. 77. — doi: https://doi.org/10.1007/s00161-025-01408-6.

Tomczyk B., Go la˛bczak M., Go la˛bczak A. A new combined asymptotic-tolerance model of thermoelasticity problems for thin uniperiodic cylindrical shells // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2024. — Vol. 36. — P. 1–26. — doi: https://doi.org/10.1007/s00161-023-01254-4.

Tomczyk B., Go la˛bczak M. Tolerance and asymptotic modelling of dynamic thermoelasticity problems for thin micro-periodic cylindrical shells // Meccanica. — 2020. — Vol. 55. — P. 2391–2411. — doi: https://doi.org/10.1007/s11012-020-01184-4.

Tomczyk B., Bagdasaryan V., Go la˛bczak M., Litawska A. A new combined asymptotictolerance model of thermoelasticity problems for thin biperiodic cylindrical shells // Composite Structures. — 2023. — Vol. 309. — Art. 116708. — doi: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2023.116708.

Hobiny A., Abbas I. Generalized Thermoelastic Interaction in Orthotropic Media under Variable Thermal Conductivity Using the Finite Element Method // Mathematics. — 2023. — Vol. 11, №4. — Art. 955. — doi: https://doi.org/10.3390/math11040955.

Hobiny A., Abbas I. The Effects of Variable Thermal Conductivity in Thermoelastic Interactions in an Infinite Material with and without Kirchhoff’s Transformation // Mathematics. — 2022. — Vol. 10, №22. — Art. 4176. — doi: https://doi.org/10.3390/math10224176.

Saeed T. Hybrid Finite Element Method to Thermo-Elastic Interactions in a Piezo-Thermo-Elastic Medium under a Fractional Time Derivative Model // Mathematics. — 2022. — Vol. 10, №4. — Art. 650. — doi: https://doi.org/10.3390/math10040650.

Zhang Z., Sun Y., Xiang Z., Qian W., Shao X. Transient Thermoelastic Analysis of Rectangular Plates with Time-Dependent Convection and Radiation Boundaries // Buildings. — 2023. — Vol. 13, №9. — Art. 2174. — doi: https://doi.org/10.3390/buildings13092174.

Feri M., Krommer M., Alibeigloo A. Three-Dimensional Thermoelasticity Analysis of Viscoelastic FGM Plate Embedded in Piezoelectric Layers under Thermal Load // Applied Sciences. — 2023. — Vol. 13, №1. — Art. 353. — doi: https://doi.org/10.3390/app13010353.

Liu F., Shi P., Guo Y. The Thermoelastic Dynamic Response of a Rod Due to a Moving Heat Source under the Fractional-Order Thermoelasticity Theory // Symmetry. — 2024. — Vol. 16, №6. — Art. 666. — doi: https://doi.org/10.3390/sym16060666.

Zacharias C., K¨onke C., Guist C. A New Efficient Approach to Simulate Material Damping in Metals by Modeling Thermoelastic Coupling // Materials. — 2022. — Vol. 15, №5. — Art. 1706. — doi: https://doi.org/10.3390/ma15051706.

Homayouni M., Shariyat M., Rahmani O. Thermally nonlinear generalized thermoelasticity investigation of a functionally graded thick hollow cylinder based on the finite difference method // Thin-Walled Structures. — 2022. — Vol. 177. — Art. 109359. — doi: https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109359.