Pfaffian Structure and Spectral Dynamics of a Discrete Lotka–Volterra Operator: A Framework for Geological Evidence Integration

D.B. Eshmamatova; K.A. Solijanova

doi:10.71310/pcam.5_76.2026.07

Авторы

Д.Б. Эшмаматова Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз Автор
К.А. Солижанова Ташкентский государственный транспортный университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.5_76.2026.07

Ключевые слова:

дискретный оператор Лотки–Вольтерры, пфаффианов инвариант, карта неподвижных точек, внутренняя неподвижная точка, локальный спектр, оценка перспективности на золото

Аннотация

В статье исследуется связь между пфаффиановыми инвариантами, геометрией неподвижных точек и локальной спектральной динамикой дискретного оператора Лотки–Вольтерры на четырёхмерном симплексе. Для турнира взаимодействий, содержащего четыре циклические тройки, единственные внутренние неподвижные точки соответствующих инвариантных двумерных граней образуют вершины карты неподвижных точек. На основе ранее установленного критерия ориентации и выбранного соглашения о знаках циклическая конфигурация этой карты характеризуется главными пфаффиановыми инвариантами четвёртого порядка. При положительности всех компонент пфаффианова вектора внутренняя неподвижная точка явно строится посредством нормированных отношений пфаффианов. Характеристический многочлен матрицы Якоби в этой точке выражается через коэффициенты взаимодействия и те же инварианты. Доказывается инвариантность касательного пространства симплекса относительно матрицы Якоби. Спектр её ограничения на это пространство состоит из двух пар комплексно-сопряжённых собственных значений с модулями больше единицы, что устанавливает локально отталкивающую динамику с колебательными компонентами. Полученные результаты объединяют геометрию неподвижных точек и локальное спектральное поведение в рамках единого алгебраического подхода и дают явные формулы, пригодные для вычислительного анализа. Также предлагается математическая интерпретация интеграции пяти групп геологических данных. Расстояния до конфигураций неподвижных точек и показатели отклика на взаимодействия вводятся как характеристики состава данных и взаимодействий между их группами. Их потенциальное использование для оценки перспективности на золото требует калибровки по данным геологоразведочных наблюдений и независимой эмпирической проверки.

Библиографические ссылки

Lyubich Yu. I. 1992. Mathematical Structures in Population Genetics. Springer-Verlag, Berlin, Biomathematics, Vol. 22.

Ganikhodzhaev R. N. 1993. Quadratic stochastic operators, Lyapunov functions, and tournaments. Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics. 76(2): 489–506. doi: https://doi.org/10.1070/SM1993v076n02ABEH003423.

Eshmamatova D. B. 2022. Compositions of Lotka–Volterra mappings operating in a twodimensional simplex, relation to viral diseases and their numerical analysis. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3(41): 79–92.

Moon J. W. 1968. Topics on Tournaments. Holt, Rinehart and Winston, New York.

Tadzhieva M. A., Eshmamatova D. B., Ganikhodzhaev R. N. 2024. Volterra-type quadratic stochastic operators with a homogeneous tournament. Journal of Mathematical Sciences. 278(3): 546–556. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-024-06937-0.

Ganikhodzhaev R. N., Kurganov K. A., Tadzhieva M. A., Khaidarov F. Kh. 2024. Dynamics of quadratic Volterra-type stochastic operators corresponding to strange tournaments. Vladikavkaz Mathematical Journal. 26(1): 85–99. doi: https://doi.org/10.46698/n9080-6847-9986-u.

Eshmamatova D. B., Tadzhieva M. A. 2024. Cards of fixed points of some Lotka–Volterra operators. e-Journal of Analysis and Applied Mathematics. 2024: 71–80. doi: https://doi.org/10.62780/ejaam/2024-006.

Solijanova K. 2026. Spectral Properties and Fixed Point Structure of a Lotka–Volterra Operator on the Four-Dimensional Simplex. Journal of Mathematical Sciences. Online first. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-026-08434-y.

Solijanova K. 2026. Degenerate Fixed-Point Configurations of a Discrete Lotka–Volterra Operator. Journal of Mathematical Sciences. Online first. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-026-08610-0.

Geiger P. M., Knebel J., Frey E. 2018. Topologically robust zero-sum games and Pfaffian orientation: How network topology determines the long-time dynamics of the antisymmetric Lotka–Volterra equation. Physical Review E. 98. doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.062316.

Eshmamatova D. B. 2022. Discrete models of viral diseases with reinfection transmitted by the airborne droplet route. Problems of Computational and Applied Mathematics. 4(42): 36–54.

Horn R. A., Johnson C. R. 2013. Matrix Analysis. 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge.

Yusupov F. A. 2024. Modeling the dynamics of computer virus spread using compositions of Lotka–Volterra mappings. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3(57): 122–139.

Eshmamatova D. B., Tadzhieva M. A., Ganikhodzhaev R. N. 2022. Criteria for internal fixed points existence of discrete dynamic Lotka–Volterra systems with homogeneous tournaments. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 30(6): 702–716. doi: https://doi.org/10.18500/0869-6632-003012.

Carranza E. J. M. 2008. Geochemical Anomaly and Mineral Prospectivity Mapping in GIS. Elsevier, Amsterdam, Handbook of Exploration and Environmental Geochemistry, Vol. 11.

Zuo R., Carranza E. J. M. 2023. Machine learning-based mapping for mineral exploration. Mathematical Geosciences. 55: 891–895. doi: https://doi.org/10.1007/s11004-023-10097-3.

Austin J. R., Gazley M., Birchall R. [et al.] 2024. Integration by design: driving mineral system knowledge using multi-modal, collocated, scale-consistent characterisation. Earth System Science Data. 16: 5027–5067. doi: https://doi.org/10.5194/essd-16-5027-2024.

Shirmard H., Farahbakhsh E., Müller R. D., Chandra R. 2022. A review of machine learning in processing remote sensing data for mineral exploration. Remote Sensing of Environment. 268. doi: https://doi.org/10.1016/j.rse.2021.112750.

Behera S., Panigrahi M. K. 2022. Gold prospectivity mapping and exploration targeting in Hutti-Maski schist belt, India: Synergistic application of Weights-of-Evidence (WOE), Fuzzy Logic (FL) and hybrid (WOE-FL) models. Journal of Geochemical Exploration. 235. doi: https://doi.org/10.1016/j.gexplo.2022.106963.

Zhang S. E., Lawley C. J. M., Bourdeau J. E., Nwaila G. T., Ghorbani Y. 2024. Workflowinduced uncertainty in data-driven mineral prospectivity mapping. Natural Resources Research. 33: 995–1023. doi: https://doi.org/10.1007/s11053-024-10322-8.

Zuo R., Kreuzer O.P., Wang J., Xiong Y., Zhang Z., Wang Z. 2021. Uncertainties in GIS-Based Mineral Prospectivity Mapping: Key Types, Potential Impacts and Possible Solutions. Natural Resources Research. 30: 3059–3079. doi: https://doi.org/10.1007/s11053-021-09871-z.

Parsa M., Cumani R. 2025. Class label representativeness in machine learning-based mineral prospectivity mapping. Natural Resources Research. 34: 1901–1925. doi: https://doi.org/10.1007/s11053-025-10468-z.

Ribeiro B. O. L., Barbuena D., de Melo G. H. C., Motta J. G., Marques E. D., Marinho M. S. 2024. How do non-deposit sites influence the performance of machine learning-based gold prospectivity mapping: A study case in the Pitangui Greenstone Belt, Brazil. Journal of Geochemical Exploration. 264. doi: https://doi.org/10.1016/j.gexplo.2024.107543.

Lu M., Zhong L., He W. [et al.] 2026. Explainable Machine Learning in Mineral Prospectivity Mapping: A Critical Review of Methods, Geological Knowledge Embedding, Validation, and Future Directions. Minerals. 16(10). doi: https://doi.org/10.3390/min16101003.