Monte Carlo Solution of the Nonlinear Kinetic Boltzmann Equation

A.S. Rasulov; G.M. Raimova; M.Y. Rakhmatov

doi:10.71310/pcam.5_76.2026.01

Авторы

А.С. Расулов Университет мировой экономики и дипломатии Автор
Г.М. Раимова Университет мировой экономики и дипломатии Автор
М.Й. Рахматов Университет цифровой экономики и агротехнологий Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.5_76.2026.01

Ключевые слова:

метод Монте-Карло, нелинейное уравнение Больцмана, регуляризованное ядро столкновений, ветвящийся марковский процесс, важностное моделирование, структура ударной волны

Аннотация

Рассматривается нелинейное интегральное уравнение больцмановского типа для неотрицательной меры и обсуждается его представление методом Монте-Карло на траекториях ветвящегося марковского процесса. При явно сформулированном условии абсолютной непрерывности уравнение для меры переписывается как уравнение для плотности. Используемое в выводе ядро столкновений является регуляризованным и локализованным по пространству; преобразование скоростей в приведённом законе столкновения сохраняет относительную скорость и кинетическую энергию пары, поэтому речь идёт об упругом изотропном рассеянии, а не о неупругих столкновениях. Выводятся плотность моделирования времени при постоянной частоте столкновений и нормировочный множитель, возникающий при переходе к сферическим координатам с нормированной угловой мерой. Также уточняются множители важностного моделирования, входящие в веса траекторий. Расчёт структуры ударной волны рассматривается как предварительная численная иллюстрация. Имеющиеся рисунки и набор параметров сами по себе не доказывают несмещённость усечённой оценки, конечность её дисперсии, сохранение макроскопических моментов, количественное согласие с эталонным решением или вычислительное преимущество перед итерационным методом. Для подтверждения этих свойств необходимы проверки сходимости, законов сохранения и статистической неопределённости, перечисленные в статье.

Библиографические ссылки

Bird G. A. 1994. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Clarendon Press. 458 p.

Nanbu K. 1980. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. I. Monocomponent gases. Journal of the Physical Society of Japan. 49(5): 2042–2049. doi: https://doi.org/10.1143/JPSJ.49.2042.

Wagner W. 1992. A convergence proof for Bird’s direct simulation Monte Carlo method for the Boltzmann equation. Journal of Statistical Physics. 66: 1011–1044. doi: https://doi.org/10.1007/BF01055714.

Ohwada T. 1993. Structure of normal shock waves. Physics of Fluids A. 5: 217–223.

Alsmeyer H. 1976. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. Journal of Fluid Mechanics. 74(3): 497–513. doi: https://doi.org/10.1017/S0022112076001912.

Mott-Smith H. M. 1951. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave. Physical Review. 82: 885–892.

Sitnikov S. S., Tcheremissine F. G. 2024. Computation of a shock wave structure in a gas mixture based on the Boltzmann equation with accuracy control. Computer Research and Modeling. 16(5): 1107–1123. doi: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2024-16-5-1107-1123.

Fei F., Hu Y., Jenny P. 2022. A unified stochastic particle method based on the Bhatnagar–Gross–Krook model for polyatomic gases and its combination with DSMC. Journal of Computational Physics. 471: Art. 111640. doi: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2022.111640.

Dцntgen M. 2024. Theory and simulation of shock waves freely propagating through monoatomic non-Boltzmann gas. Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 38: 61–74. doi: https://doi.org/10.1007/s00162-023-00683-w.

Luo L., Wu L. 2024. Multiscale simulation of rarefied gas dynamics via direct intermittent GSIS-DSMC coupling. Advances in Aerodynamics. 6: Article 22. doi: https://doi.org/10.1186/s42774-024-00188-y.

Kim S., Jun E. 2024. An evaluation of the hybrid Fokker–Planck-DSMC approach for high-speed rarefied gas flows. Computers & Fluids. 285: Article 106456. doi: https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2024.106456.

Ermakov S. M., Nekrutkin V. V., Sipin A. S. 1989. Random processes for classical equations of mathematical physics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 282 p.

Nekrutkin V. V. 1974. Direct and adjoint schemes of the Monte Carlo method for solving the nonlinear Boltzmann equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 14(6): 39–45.

Ueno T. 1971. A class of Markov processes with non-linear, bounded generators. Proceedings of the Japan Academy. 47(6): 529–533.

Povzner A.Ya. 1962. Ob uravnenii Bol’tsmana v kineticheskoy teorii gazov [On the Boltzmann equation in the kinetic theory of gases]. Matematicheskii Sbornik. 58(100)(1): 65–86. (In Russian)

Caflisch R., Silantyev D., Yang Y. 2021. Adjoint DSMC for nonlinear Boltzmann equation constrained optimization. Journal of Computational Physics. 439: Art. 110404. doi: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2021.110404.

Guan G., Matsushima K., Noguchi K., Yamada T. 2023. Topology optimization for rarefied gas flow problems using density method and adjoint IP-DSMC. Journal of Computational Physics. 474: Art. 111788. doi: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2022.111788.

Rasulov A. S., Mascagni M., Raimova G. M. 2006. Monte Carlo methods for solution of linear and nonlinear boundary value problems. Tashkent: UWED Publishers.

Tanaka H. 1973. On Markov process corresponding to Boltzmann’s equation of Maxwellian gas. Lecture Notes in Mathematics. 330: 478–489.

Haviland J. K. 1969. Resheniye dvukh zadach o molekulyarnom techenii metodom Monte-Karlo [The solution of two molecular flow problems by the Monte Carlo method]. Vychislitel’nyye metody v dinamike razrezhennykh gazov [Computational methods in rarefied gas dynamics]. Moscow: Mir. 7–115. (In Russian)