Оптимальные квадратурные формулы для интегралов типа Коши с тригонометрическими весами

Аннотация

Актуальность: Сингулярные интегралы с осциллирующими ядрами встречаются в различных областях вычислительной математики и прикладных наук. Их численное вычисление представляет значительную сложность, поскольку сингулярное поведение и быстрые осцилляции проявляются одновременно, что может существенно снижать точность и эффективность стандартных квадратурных методов. Существующие подходы часто рассматривают эти особенности раздельно и не в полной мере решают задачу построения оптимальных квадратурных формул в функционально-аналитической постановке.

Цель: Целью настоящего исследования является построение оптимальных квадратурных формул для численного вычисления сингулярных интегралов с осциллирующими ядрами и установление их оптимальности в соответствующем пространстве Соболева. Особое внимание уделяется получению явных аналитических выражений для коэффициентов квадратурных формул, пригодных для практической реализации.

Метод: Квадратурная задача формулируется как экстремальная задача для соответствующего функционала погрешности в пространстве Соболева. В рамках метода Соболева коэффициенты квадратурной формулы определяются путем минимизации нормы функционала погрешности на заданном классе квадратурных формул.

Аналитические свойства как сингулярного подынтегрального выражения, так и осциллирующего ядра непосредственно учитываются при построении формулы. Такой подход обеспечивает единое рассмотрение сингулярности и быстрых осцилляций и позволяет получить явные аналитические выражения для коэффициентов квадратурной формулы.

Результаты: Построенные квадратурные формулы обладают свойством минимальности нормы соответствующего функционала погрешности в рассматриваемом пространстве Соболева. Полученные явные выражения для коэффициентов позволяют непосредственно реализовать предложенный метод численно и обеспечивают точное вычисление сингулярных осциллирующих интегралов без чрезмерного сгущения сетки. Численные результаты демонстрируют эффективность предложенного подхода при одновременном наличии сингулярного поведения и быстрых осцилляций.

Практическая значимость: Предложенная методология представляет собой строгий с математической точки зрения и вычислительно эффективный подход к построению оптимальных квадратурных формул для сингулярных осциллирующих интегралов. Она расширяет функционально-аналитический подход к численному интегрированию и создает основу для исследования связанных сингулярных интегральных операторов.