Приближённое вычисление дробной производной Капуто
DOI:
https://doi.org/10.71310/pcam.4-1_75.2026.14Ключевые слова:
производная Капуто, дробное исчисление, оптимальная квадратурная формула, метод ????-функций, в смысле Сарда, пространство Соболева, интегральное уравнение АбеляАннотация
Предпосылки: Дробная производная Капуто порядка ???? ∈ (0, 1) представляется в виде слабо сингулярного интеграла от классической производной первого порядка с ядром (???? − ????)−????, и её точное численное вычисление играет центральную роль при моделировании процессов с памятью. Известные методы (????1-схема, суммы типа Грюнвальда–Летникова, схемы продукт-интегрирования) сначала фиксируют правило интерполяции производной и лишь затем оценивают возникающую погрешность, поэтому их коэффициенты не выбираются с целью прямой минимизации этой погрешности.
Цель: Цель данной работы — построить для произвольного разбиения интервала интегрирования квадратурную формулу для производной Капуто, коэффициенты которой оптимальны с самого начала, в смысле Сарда, в подходящем гильбертовом пространстве типа Соболева.
Метод: Задача приближения ставится непосредственно в пространстве ????(1)2 (????, ????), и используется метод ????-функций: на каждом подынтервале разбиения строится явная функция ????????, связанная с сингулярным ядром, её свободная константа определяется минимизацией соответствующего квадратичного функционала погрешности, и таким образом коэффициенты квадратурной формулы получаются в замкнутом виде.
Результаты: Получены явные замкнутые выражения для коэффициентов ????0, ????1, . . . , ???????? оптимальной квадратурной формулы при произвольном разбиении узлов, которые затем специализируются на случай равноотстоящих узлов. В качестве независимой проверки показано, что построенная формула в частном случае совпадает с известной оптимальной квадратурной формулой, ранее полученной другим методом для обобщённого интегрального уравнения Абеля.
Значимость: Результат расширяет метод ????-функций построения оптимальных в смысле Сарда квадратурных формул, ранее применявшийся в основном для регулярных и осциллирующих интегралов, на слабо сингулярные ядра, возникающие в дробном исчислении, и даёт явные, готовые к использованию коэффициенты для точного численного вычисления производной Капуто на произвольных сетках.
Библиографические ссылки
Diethelm K., Garrappa R., Stynes M. 2020. Good (and not so good) practices in computational methods for fractional calculus. Mathematics. 8(3): Art. 324. doi: https://doi.org/10.3390/math8030324.
Diethelm K., Kiryakova V., Luchko Y., Tenreiro Machado J. A., Tarasov V. E. 2022. Trends, directions for further research, and some open problems of fractional calculus. Nonlinear Dynamics. 107(4): 3245–3270. doi: https://doi.org/10.1007/s11071-021-07158-9.
Lin Y., Xu C. 2007. Finite difference/spectral approximations for the time-fractional diffusion equation. Journal of Computational Physics. 225: 1533–1552.
Podlubny I. 1999. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press.
Lubich C. 1986. Discretized fractional calculus. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 17: 704–719.
Diethelm K., Ford N. J., Freed A.D. 2002. A predictor–corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations. Nonlinear Dynamics. 29: 3–22.
Shadimetov K. M., Hayotov A. R. 2014. Calcolo. 51: 211–243.
Shadimetov K. M., Daliev B. S. 2022. Optimal formulas for the approximate analytical solution of the general Abel integral equation in the Sobolev space. Results in Applied Mathematics. 15: Art. 100276.
Boytillayev B. A. 2023. Optimal formulas for the approximate solution of the generalized Abel integral equations in the Hilbert space. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3/1(50): 84–91.
Hayotov A. R., Babaev S. S., Boytillayev B. 2025. The numerical solution of an Abel integral equation by the optimal quadrature formula. Results in Applied Mathematics. 25: Art. 100542.
Hayotov A. R., Babaev S. S. 2025. An optimal quadrature formula with derivative for weakly singular integrals. Mathematical Methods in the Applied Sciences. doi: https://doi.org/ 10.1002/mma.70034.
Hayotov A. R., Babaev S. S. 2023. An optimal quadrature formula for numerical integration of the right Riemann–Liouville fractional integral. Lobachevskii Journal of Mathematics. 44(10): 4282–4293. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080223100165.
Hayotov A. R., Babaev S. S. 2023. Optimal quadrature formula for numerical integration of fractional integrals in a Hilbert space. Journal of Mathematical Sciences. 277(3): 403–419. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-023-06844-w.
Akhmedov D. M., Shadimetov K. M. 2022. Optimal quadrature formulas with derivative for Hadamard type singular integrals. AIP Conference Proceedings. 2365: Art. 020020.
Akhmedov D. M., Shadimetov K. M. 2022. Optimal quadrature formulas for approximate solution of the first kind singular integral equation with Cauchy kernel. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica. 67(3): 633–651.
Shadimetov K. M., Akhmedov D. M. 2022. Approximate solution of a singular integral equation using the Sobolev method. Lobachevskii Journal of Mathematics. 43(2): 496–505. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080222050249.
Hayotov A. R., Khayriev U. N. 2022. Construction of an optimal quadrature formula in the Hilbert space of periodic functions. Lobachevskii Journal of Mathematics. 43(11): 3151–3160. doi: https://doi.org/10.1134/S199508022214013X.
Shadimetov K. M., Davronov J. R. 2024. The discrete analogue of a high-order differential operator and its application to finding coefficients of optimal quadrature formulas. Journal of Inequalities and Applications. 2024: Art. 46. doi: https://doi.org/10.1186/s13660-024-03111-7.
Hayotov A. R., Babaev S. S. 2024. The numerical solution of a Fredholm integral equation of the second kind by the weighted optimal quadrature formula. Results in Applied Mathematics. 24: Art. 100508. doi: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2024.100508.
Babaev S. S. 2025. Consecutive optimization of the weighted quadrature formulas with derivative. Filomat. 39(8): 2805–2815. doi: https://doi.org/10.2298/FIL2508805B.
Shadimetov K. M., Usmanov K. 2025. Weighted optimal quadrature formulas in Sobolev space and their applications. Algorithms. 18(7): Art. 374. doi: https://doi.org/10.3390/a18070374.
Abduakhadov A. A. 2024. Optimal approximation of Fourier integrals by the phi-function method. Problems of Computational and Applied Mathematics. 4/2(60): 108–117.
Hayotov A. R., Babaev S. S., Abduakhadov A. A., Davronov J. R. 2024. An optimal quadrature formula exact to the exponential function by the ????-function method. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica. 69(3): 651–663. doi: https://doi.org/10.24193/subbmath.2024.3.11.
Hayotov A. R., Berdimuradova U. A. 2025. An optimal quadrature formula with derivatives for arbitrarily fixed nodes in the Sobolev space. Problems of Computational and Applied Mathematics. 2(64): 64–73.
Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. 2011. Fractional calculus: models and numerical methods. 2nd ed. Singapore: World Scientific.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 А.Р. Хаётов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
