A Comparative Analysis of Sixth-Order Algebraic-Hyperbolic Natural Splines and Integral Quasi-Interpolating Splines

F.A. Nuraliev; G.Sh. Abdullaeva

doi:10.71310/pcam.4-1_75.2026.12

Авторы

Ф.А. Нуралиев Ташкентский международный университет Автор
Г.Ш. Абдуллаева Государственный университет «Cyber University» Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4-1_75.2026.12

Ключевые слова:

алгебраико-гиперболический сплайн, натуральный сплайн, интегро-интерполяция, дифференциальный оператор, скорость сходимости, оценка погрешности

Аннотация

Предпосылки: Алгебраико-гиперболические сплайны важны в численном анализе благодаря сочетанию гладкости и высокой точности аппроксимации. Во многих задачах точечные значения функции могут быть зашумлены или недоступны, тогда как исходными данными служат интегральные значения на подотрезках. Поэтому актуально сравнение методов, использующих точечные и интегральные данные.

Цель: Цель работы состоит в построении алгебраико-гиперболического натурального интерполяционного сплайна шестого порядка и сравнении его точности с рядом сплайновых методов, построенных по интегральным значениям.

Метод: Натуральный интерполяционный сплайн строится в функциональном пространстве, связанном с дифференциальным оператором третьего порядка, содержащим гиперболический параметр. Дискретный аналог соответствующего дифференциального оператора используется для построения вычислительного алгоритма и получения явных систем для определения коэффициентов сплайна. Установлено важное воспроизводящее свойство построенного сплайна: он точно воспроизводит постоянные и гиперболические функции.

Результаты: Для двух тестовых функций и различных чисел узлов проведено численное сравнение с алгебраико-гиперболическим интегральным квазиинтерполянтом, локальными интегро-сплайнами, интегро-квадратичным и алгебраикотригонометрическим интегро-сплайнами. В приведённых вычислительных экспериментах предложенный метод даёт меньшие максимальные погрешности аппроксимации.

Значимость: Полученные результаты показывают возможность применения построенного натурального сплайна в задачах высокоточной аппроксимации и позволяют сопоставлять методы по точечным и интегральным данным.

Библиографические ссылки

Schoenberg I. J. 1946. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part A: On the problem of smoothing or graduation. A first class of analytic approximation formulae. Quarterly of Applied Mathematics. 4(1): 45–99. doi: https://doi.org/10.1090/QAM/15914.

Holladay J. C. 1957. A smoothest curve approximation. Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 11(60): 233–243. doi: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1957-0093894-6.

Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. 1967. The theory of splines and their applications. New York: Academic Press.

Cabada A., Hayotov A. R., Shadimetov K. M. 2014. Applied Mathematics and Computation. 244: 542–551. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.07.033.

Hayotov A. R., Nuraliev F. A., Abdullaeva G. S. 2025. The coefficients of the spline minimizing semi-norm in ????2(????3). International Journal of Analysis and Applications. 23: Art. 7. doi: https://doi.org/10.28924/2291-8639-23-2025-7.

Abdullaeva G. S. 2025. Construction of an algebraic-hyperbolic natural tension spline of eighth order. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3(67): 67–82. doi: https://doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.06.

Shadimetov K., Hayotov A., Bozarov B. 2022. Optimal quadrature formulas for oscillatory integrals in the Sobolev space. Journal of Inequalities and Applications. 2022: Art. 103. doi: https://doi.org/10.1186/s13660-022-02839-4.

Shadimetov K. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. 2022. Construction of optimal interpolation formulas in the Sobolev space. Journal of Mathematical Sciences. 264(6): 782–793. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-022-06035-z.

Hayotov A. R., Babaev S. S. 2023. Optimal quadrature formula for numerical integration of fractional integrals in a Hilbert space. Journal of Mathematical Sciences. 277(3): 403–419. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-023-06844-w.

Shadimetov K., Boltaev A. K., Parovik R. 2023. Optimization of the approximate integration formula using the discrete analogue of a high-order differential operator. Mathematics. 11(14): Art. 3114. doi: https://doi.org/10.3390/math11143114.

Shadimetov K. M., Akhmedov D. M. 2022. Approximate solution of a singular integral equation using the Sobolev method. Lobachevskii Journal of Mathematics. 43(2): 496–505. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080222050249.

Akhmedov D. M., Shadimetov K. M. 2022. Optimal quadrature formulas for approximate solution of the first kind singular integral equation with Cauchy kernel. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica. 67(3): 633–651. doi: https://doi.org/10.24193/subbmath.2022.3.15.

Shadimetov K. M., Daliyev B. S. 2022. Optimal formulas for the approximate analytical solution of the general Abel integral equation in the Sobolev space. Results in Applied Mathematics. 15: Art. 100276. doi: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100276.

Shadimetov K. M., Nuraliev F. A., Kuziev S. S. 2025. Numerical solution Fredholm integral equation of the second kind by the optimal quadrature method. Filomat. 39(32): 11653–11667. doi: https://doi.org/10.2298/FIL2532653S.

Shadimetov K. M., Hayotov A. R., Akhmadaliev G. N. 2024. An algorithm for construction of optimal integration formulas in Hilbert spaces and its realization. International Journal of Analysis and Applications. 22: Art. 100. doi: https://doi.org/10.28924/2291-8639-22-2024-100.

Shadimetov K. M., Azamov S. S. 2024. On the construction of optimal quadrature formulas with equally spaced nodes. Filomat. 38(29): 10279–10295. doi: https://doi.org/10.2298/FIL2429279S.

Shadimetov K. M., Boltaev A. K. 2025. Optimization of the approximate integration formula using the quadrature formula. International Journal of Analysis and Applications. 23: Art. 53. doi: https://doi.org/10.28924/2291-8639-23-2025-53.

Shadimetov K., Usmanov K. 2025. Weighted optimal quadrature formulas in Sobolev space and their applications. Algorithms. 18(7): Art. 374. doi: https://doi.org/10.3390/a18070374.

Nuraliev F. A., Edilbekova R. M. 2026. Optimal quadrature formula in the space of differentiable functions. Problems of Computational and Applied Mathematics. 4(74): 120–132. doi: https://doi.org/10.71310/pcam.4_74.2026.08.

Boltaev A. K., Pardaeva O. F. 2025. On an interpolation of a function by natural splines. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3(67): 97–106. doi: https://doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.08.

Behforooz H. 2006. Approximation by integro cubic splines. Applied Mathematics and Computation. 175(1): 8–15. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.07.066.

Behforooz H. 2010. Interpolation by integro quintic splines. Applied Mathematics and Computation. 216(2): 364–367. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.01.009.

Zhanlav T., Mijiddorj R. 2010. The local integro cubic splines and their approximation properties. Applied Mathematics and Computation. 216(7): 2215–2219. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.03.037.

Wu J., Zhang X. 2013. Integro sextic spline interpolation and its super convergence. Applied Mathematics and Computation. 219(12): 6431–6436. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2012.12.062.

Akhmadaliev G. N., Hayotov A. R. 2017. A discrete analogue of the differential operator. Uzbek Mathematical Journal. (3): 10–22.

Wu J., Zhang X. 2015. Integro quadratic spline interpolation. Applied Mathematical Modelling. 39(10–11): 2973–2980. doi: https://doi.org/10.1016/j.apm.2014.11.015.

Barrera Rosillo D., Eddargani S., Lamnii A. 2021. Uniform algebraic hyperbolic spline quasiinterpolant based on mean integral values. Computational and Mathematical Methods. 3: Art. e1123. doi: https://doi.org/10.1002/cmm4.1123.

Eddargani S., Lamnii A., Lamnii M. 2020. On algebraic trigonometric integro splines. ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 100(2): Art. e201900262. doi: https://doi.org/10.1002/zamm.201900262.