Оптимальная квадратурная формула с кратными узлами в гильбертовом пространстве

Аннотация

Предпосылки. Квадратурные формулы, использующие наряду со значениями функции значения её производных, достигают более высокого порядка точности при фиксированном числе узлов. В вариационной постановке Сарда узлы задаются заранее, а выбираются лишь веса — так, чтобы минимизировать норму функционала погрешности на нормированном пространстве подинтегральных функций. Построения такого рода проводились в основном в соболевских пространствах, полунорма которых порождается чистой производной порядка ???? и которые дают точность только на многочленах, причём веса производной, как правило, сохранялись лишь в концевых точках отрезка.

Цель. Цель работы — построить оптимальную в смысле Сарда квадратурную формулу в гильбертовом пространстве ????^(3,2)_2,????(0, 1), в которой веса первой производной сохраняются в каждом узле, а веса значений функции фиксированы и равны весам правила трапеций, так что точность на константе, линейной функции и убывающей экспоненте заложена в саму формулу.

Метод. Построение следует методу С. Л. Соболева. Определяется экстремальная функция функционала погрешности, после чего теорема Рисса об общем виде линейного функционала даёт явное выражение для квадрата нормы этого функционала как квадратичной функции искомых весов производной. Минимизация этой квадратичной формы при условиях точности методом множителей Лагранжа приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно весов и множителей.

Результаты. Получены явные представления функционала погрешности и квадрата его нормы, дающие точную верхнюю оценку погрешности формулы на всём пространстве. Полученная система имеет порядок ???? + 3 и является системой типа Винера–Хопфа; её однозначная разрешимость гарантирует, что оптимальные веса определяются единственным образом.

Значимость. Результат распространяет известные построения типа Сарда на гильбертово пространство третьего порядка, в котором экспоненциальная точность сочетается с весами производной, сохранёнными во внутренних узлах.