Явные коэффициенты и оценка погрешности оптимальной квадратурной формулы

Аннотация

Точное численное интегрирование имеет важное значение во многих вычислительных приложениях, особенно в случаях, когда подынтегральные функции обладают высокой степенью гладкости. Оптимальные квадратурные формулы в пространствах Соболева обеспечивают строгую основу для контроля погрешностей аппроксимации, тогда как классические формулы, такие как формула Эйлера–Маклорена, могут быть менее гибкими для общего распределения квадратурных узлов. Это обосновывает необходимость разработки точных квадратурных формул с явными оценками погрешности, применимых за пределами равномерного разбиения.

Целью данной работы является построение оптимальной квадратурной формулы в пространстве Соболева ????⁽⁵⁾₂(????, ????) и получение явных выражений для её коэффициентов и характеристик погрешности с использованием ????-функционального метода.

Предлагаемый подход представляет погрешность квадратурной формулы с помощью ????-функции и определяет коэффициенты квадратурной формулы путём решения соответствующих условий оптимальности. Данная процедура позволяет получить явные аналитические выражения для квадратурных коэффициентов и явную оценку погрешности аппроксимации. Кроме того, получено замкнутое выражение для нормы погрешности квадратурной формулы, а для равноотстоящих квадратурных узлов выведена её упрощённая форма. Построение сформулировано для произинтервала интегрирования.

Полученная квадратурная формула обеспечивает строгую оценку погрешности и демонстрирует высокую численную точность. Численные эксперименты, проведённые для нескольких тестовых функций, показывают, что предложенная формула обеспечивает меньшие абсолютные погрешности аппроксимации по сравнению с классической квадратурной формулой Эйлера–Маклорена. Численные результаты также согласуются с теоретически установленными оценками погрешности.

Полученные результаты расширяют область применения оптимальных квадратурных формул в пространствах Соболева и предлагают гибкую и точную альтернативу классическим методам численного интегрирования, особенно в случаях, когда требуется использование неравномерно распределённых квадратурных узлов.