Интерполяционные сплайны, минимизирующие полунорму в гильбертовом пространстве Соболева

Аннотация

Предпосылки. Задача интерполяции принадлежит к числу центральных задач теории приближений. Классическое решение опирается на интерполяционный многочлен, однако полиномиальная аппроксимация малоэффективна для функций конечной и малой гладкости, которые чаще всего встречаются в приложениях. По этой причине используются сплайны, понимаемые в вариационном смысле как элементы гильбертова пространства, доставляющие минимум некоторому функционалу. Для пространств, порождённых линейными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, такие сплайны строятся методом Соболева, опирающимся на дискретные аналоги дифференциальных операторов.

Цель. Изложить общую конструкцию интерполяционного сплайна, минимизирующего полунорму указанного пространства при произвольном нечётном порядке дифференциального оператора, и показать, что задача, отвечающая первому нечётному порядку, является частным случаем этой конструкции, допускающим полностью явное решение.

Метод. Применяется метод Соболева: вариационная задача сводится к системе линейных уравнений относительно скачков старшей производной сплайна, система переписывается в свёрточной форме на языке функций дискретного аргумента, а её решение восстанавливается свёрткой с дискретным аналогом соответствующего дифференциального оператора чётного порядка.

Результаты. Для первого нечётного порядка дискретный аналог получен в замкнутой трёхточечной форме, не содержащей убывающей геометрической части, что позволяет выписать коэффициенты сплайна в явной элементарной форме. Построенный сплайн точен на показательных функциях, порождающих ядро оператора; значения коэффициентов при внутренних узлах согласуются с известными ранее результатами, тогда как сам сплайн от известного отличается. Вычислительный эксперимент подтверждает точность на указанных функциях и второй порядок сходимости на гладких функциях общего вида.

Значимость. Полученные формулы замыкают семейство экспоненциальных интерполяционных сплайнов на первом нечётном уровне и дают простой в реализации вычислительный алгоритм.