Квадрат нормы функционала погрешности интерполяционной формулы с третьей производной в гильбертовом пространстве

Аннотация

Данная работа посвящена построению оптимальной интерполяционной формулы для функций, определенных на конечном интервале в гильбертовом пространстве, которая характеризуется требованием абсолютной непрерывности и интегрируемости производной третьего порядка функции в этом пространстве на квадрат ее производной четвертого порядка. Рассматриваемая интерполяционная формула построена таким образом, чтобы она была точной как для полиномов до второй степени, так и для инвариантной экспоненциальной функции, при этом подпространство, покрываемое этими функциями, играет центральную роль на протяжении всего построения. Точность интерполяционной формулы характеризуется соответствующим функционалом ошибки, а качество формулы измеряется нормой этой функции в сопряженном с базовым гильбертовым пространством. На основе вариационного подхода, разработанного С. Л. Соболевым и его школой для построения оптимальных квадратурных и интерполяционных формул, вводится экстремальная функция, связанная с функционалом ошибки, и ее точное выражение получается путем свертки со специальной ядерной функцией, определяемой структурой пространства. Используя эту экстремальную функцию вместе с условиями дискретной ортогональности, которым удовлетворяет интерполяционная формула, получают точное аналитическое выражение для квадрата нормы функционала ошибки через неизвестные коэффициенты формулы. Это выражение служит основным начальным результатом, на котором основывается последующая задача минимизации для нахождения оптимальных коэффициентов интерполяционной формулы.