Оптимальные методы численного интегрирования, основанные на алгебраических и тригонометрических функциях

Аннотация

В настоящей работе проводится всестороннее исследование вычисления коэффициентов квадратурных формул, содержащих значения производных, с использованием так называемого метода ????-функций. Данный подход представляет собой систематическую и эффективную методологию построения оптимальных квадратурных формул в рамках численного интегрирования. Следует отметить, что метод ????-функций не только существенно упрощает вывод соответствующих коэффициентов, но и обеспечивает высокую точность получаемых квадратурных формул.

Кроме того, проводится детальный анализ функциональной погрешности предлагаемой квадратурной формулы. Полученные оценки погрешности обоснованы строгими аналитическими выражениями, что подтверждает точность и надежность полученных результатов. На основе исследования квадратурных формул с произвольно заданными узлами систематически устанавливаются критерии оптимальности, а также подробно излагаются методы вычисления соответствующих коэффициентов и структурных компонентов формулы.

В качестве основного результата настоящего исследования получены аналитические представления в замкнутой форме для коэффициентов оптимальной квадратурной формулы. Особый интерес представляет случай равномерно распределённых узлов, при котором полученная квадратурная формула естественным образом совпадает с классической формулой типа Эйлера–Маклорена. Этот результат демонстрирует как общность применения, так и практическую значимость метода ????-функций.