Numerical Approximation of Fractional Integrals: an Optimal Quadrature Approach Based on Phi-Functions

S.S. Babaev; S.S. Elmurodova

doi:10.71310/pcam.4-1_75.2026.03

Авторы

С.С. Бабаев Ташкентский международный университет Автор
С.С. Элмуродова Cyber University Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4-1_75.2026.03

Ключевые слова:

гильбертово пространство, метод фи-функций, оптимальная квадратурная формула, погрешность формулы

Аннотация

Предпосылки: Дробные интегралы Римана–Лиувилля являются нелокальными операторами, описывающими эффекты памяти в прикладных науках, и лишь изредка вычисляются аналитически. Классические квадратурные формулы типа Грегори, Ньютона–Котеса, Эйлера, Гаусса и Маркова создавались для интегрирования целого порядка и, как правило, не могут быть напрямую применены к операторам дробного порядка с сингулярными ядрами.

Цель: Цель работы — построить квадратурную формулу для левого дробного интеграла Римана–Лиувилля, оптимальную в смысле Сарда в гильбертовом пространстве абсолютно непрерывных функций с интегрируемой с квадратом производной, для произвольного фиксированного набора узлов и найти её коэффициенты в явном виде.

Метод: Формула строится методом фи-функций: погрешность выражается через кусочную фи-функцию, а сама погрешность оценивается сверху через интеграл от её квадрата. На каждом отрезке между соседними узлами эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка со слабо сингулярной правой частью. Уравнение решается методом вариации постоянных с разложением экспоненты в ряд, а свободные константы выбираются из условия минимума интеграла от квадрата функции. После этого коэффициенты формулы находятся непосредственно по значениям функции в узлах.

Результаты: Для любого фиксированного набора узлов оптимальная формула существует и единственна, а её коэффициенты выражаются в явном виде через ряды, зависящие от узлов, верхнего предела интегрирования и порядка дробного интеграла. Формула точна для возрастающей и убывающей экспоненциальных функций единичного показателя, что отличает её от классических формул, точных на многочленах. Для равноотстоящих узлов она сводится к ранее известному результату.

Значимость: Работа распространяет метод фи-функций на дробные интегралы с произвольным расположением узлов. Полученные результаты носят аналитический характер и создают основу для теоретических оценок погрешности и численного сравнения с существующими методами аппроксимации.

Библиографические ссылки

Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. 2016. Fractional calculus: models and numerical methods. 2nd ed. World Scientific.

Cai M., Li C. 2020. Numerical approaches to fractional integrals and derivatives: a review. Mathematics. 8: Art. 43. P. 1–53.

Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. 2006. Theory and applications of fractional differential equations. Elsevier. 539 p.

Dimitrov Y. 2021. Approximations of the fractional integral and numerical solutions of fractional integral equations. Communications on Applied Mathematics and Computation. 3: 545–569. doi: https://doi.org/10.1007/s42967-021-00132-7.

Budak H., Hezenci F., Kara H., Sarikaya M. Z. 2023. Bounds for the error in approximating a fractional integral by Simpson’s rule. Mathematics. 11(10): Art. 2282. doi: https://doi.org/10.3390/math11102282.

Ciesielski M., Grodzki G. 2024. Numerical approximations of the Riemann–Liouville and Riesz fractional integrals. Informatica. 35(1): 21–46. doi: https://doi.org/10.15388/23-INFOR540.

Elgindy K. T. 2025. Super-exponential approximation of the Riemann–Liouville fractional integral via Gegenbauer-based fractional approximation methods. Algorithms. 18(7): Art. 395. doi: https://doi.org/10.3390/a18070395.

Shadimetov K., Toshboev O. 2026. Optimal methods for approximating the Riemann–Liouville fractional integral in the Sobolev space. Algorithms. 19(9): Art. 745. doi: https://doi.org/10.3390/a19090745.

Meyers L. F., Sard A. 1950. Best approximate integration formulas. Journal of Mathematics and Physics. 29: 118–123.

Sard A. 1949. Best approximate integration formulas; best approximation formulas. American Journal of Mathematics. 71: 80–91.

Nikolsky S. M. 1950. On the issue of estimates of approximations by quadrature formulas. Advances in Mathematical Sciences. 5(3): 165–177. (In Russian)

Nikolsky S. M. 1988. Quadrature formulas. 4th ed. Moscow: Nauka. (In Russian)

Sobolev S. L. 1974. Introduction to the theory of cubature formulas. Moscow: Nauka. (In Russian)

Sobolev S. L. 1977. Coefficients of optimal quadrature formulas. Doklady Akademii Nauk SSSR. 235(1): 34–37. (In Russian)

Babaev S. S. 2024. Construction of an optimal quadrature formula for the approximation of fractional integrals. AIP Conference Proceedings. 3004: Art. 060022. doi: https://doi.org/10.1063/5.0199596.

Hayotov A. R., Babaev S. S. 2023. An optimal quadrature formula for numerical integration of the right Riemann–Liouville fractional integral. Lobachevskii Journal of Mathematics. 44(10): 4282–4293. doi: https://doi.org/10.1134/S1995080223100165.

Hayotov A. R., Babaev S. S., Abduakhadov A., Davronov J. 2024. An optimal quadrature formula exact to the exponential function by the phi function method. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica. 69(3): 651–663. doi: https://doi.org/10.24193/subbmath.2024.3.11.

Hayotov A. R., Babaev S. S. 2023. Optimal quadrature formula for numerical integration of fractional integrals in a Hilbert space. Journal of Mathematical Sciences. 277(3): 403–419. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-023-06844-w.

Hayotov A. R., Babaev S. S. 2025. An optimal quadrature formula with derivative for weakly singular integrals. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 48(17): 15591–15601.

Hayotov A. R., Babaev S. S., Boytillaev B. A. 2025. The numerical solution of an Abel integral equation by the optimal quadrature formula. Results in Applied Mathematics. 25: Art. 100542.

Köhler P. 1988. On the weights of Sard’s quadrature formulas. Calcolo. 25(3): 169–186.

Shadimetov K. M., Hayotov A. R. 2014. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in ????(????,????−1)2 space. Calcolo. 51(2): 211–243.

Cătinaş T., Coman G. 2006. Optimal quadrature formulas based on the ????-function method. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica. 51(1): 49–64.

Ghizzetti A., Ossicini A. 1970. Quadrature formulae. Berlin: Akademie Verlag.

Lanzara F. 2000. On optimal quadrature formulae. Journal of Inequalities and Applications. 5: 201–225.

Coman G. 1972. Formule de cuadratură de tip Sard. Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica-Mechanica. 17(2): 73–77. (In Romanian)

Boytillayev B. A. 2023. Optimal formulas for the approximate solution of the generalized Abel integral equations in the Hilbert space. Problems of Computational and Applied Mathematics. 3/1(50): 84–91. https://elibrary.ru/hlgvaq.