Численное решение линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода на основе оптимальных интерполяционных формул с производными

Аннотация

Предпосылки: Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода имеют фундаментальное значение при моделировании различных научных и инженерных процессов. Традиционные численные методы решения этих уравнений часто опираются исключительно на узловые значения функции для аппроксимации. Однако эти стандартные подходы не всегда способны точно передать локальное поведение и гладкость неизвестного решения, что может ограничивать их точность и численную устойчивость в сложных сценариях.

Цель: Основная цель данного исследования заключается в разработке новой и высокоточной численной схемы, которая значительно повышает точность аппроксимации. Мы стремимся достичь этого путем эффективного использования как значений функции, так и ее производных высших порядков в дискретных узлах, тем самым в полной мере реализуя присущую решению гладкость.

Метод: Для достижения поставленной цели мы предлагаем инновационный подход, основанный на применении оптимальной интерполяционной формулы с производными, специально построенной в пространстве Соболева. Используя точные коэффициенты этой интерполяционной формулы, мы преобразуем непрерывное интегральное уравнение в конечную замкнутую систему линейных алгебраических уравнений. Данное преобразование осуществляется с помощью строгого метода коллокации. Новизна нашей схемы заключается в том, что, в отличие от стандартных методов, она активно интегрирует информацию о производных высшего порядка в процесс дискретной аппроксимации.

Результаты: Наш теоретический анализ успешно устанавливает строгие оценки погрешности, подтверждая математическую обоснованность предложенной схемы. Использование информации о производных обеспечивает более высокую скорость сходимости и повышенную численную устойчивость по сравнению с традиционными методами. Кроме того, вычислительные эксперименты на примере с известным точным решением демонстрируют, что наш метод восстанавливает решение с исключительно высокой точностью и минимальной вычислительной ошибкой.

Значимость: Таким образом, данная работа предоставляет надежный и эффективный вычислительный инструмент для сложных математических и инженерных задач. Предложенный подход устанавливает новый стандарт для численного решения интегральных уравнений в тех случаях, когда сохранение информации о локальном поведении и производных критически важно для обеспечения общей точности вычислений.