Optimal quadrature formula in the space of differentiable functions

F.A. Nuraliev; R.M. Edilbekova

doi:10.71310/pcam.4_74.2026.08

Авторы

Ф.А. Нуралиев Ташкентский международный университет Автор
Р.М. Едилбекова Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4_74.2026.08

Ключевые слова:

пространство Соболева, оптимальная квадратурная формула, функция погрешности, экстремальная функция, оптимальные коэффициенты

Аннотация

Численное интегрирование в пространствах Соболева часто основывается на оптимальных по Сарду квадратурных формулах, позволяющих минимизировать погрешность вычислений. Хотя существует множество стандартных формул, построение оптимальных правил, использующих комбинацию значений функции в узлах, первой производной на концах интервала и третьей производной в узлах, представляет собой сложную задачу из-за отсутствия явного аппарата для вывода аналитических коэффициентов. Основная цель данного исследования — построить такие оптимальные по Сарду формулы путем минимизации функционала погрешности. Для этого применяется вариационный подход: выводится аналитическое выражение для нормы функционала погрешности, методом множителей Лагранжа формируется система уравнений типа Винера — Хопфа, а затем методом Соболева находится точный аналитический вид оптимальных коэффициентов. С помощью предложенного метода были успешно получены формулы для коэффициентов и полностью рассчитаны их значения для пространств ????(0, 1) и ????(0, 1). Явное решение подтверждает, что найденные коэффициенты строго минимизируют функционал погрешности, расширяя существующий математический аппарат численного интегрирования в пространствах Соболева.

Библиографические ссылки

Sobolev S. L. 1974. Introduction to the theory of cubature formulas. Moscow: Nauka. 808 p. (In Russian)

Sobolev S. L., Vaskevich V. L. 1996. Cubature formulas. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics SB RAS. (In Russian)

Atkinson K. 1988. An introduction to numerical analysis. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons. P. 170.

Han W., Atkinson K. E. 2009. Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework. New York: Springer. doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0458-4.

Lovetskiy K.P., Sevastianov L. A., Hnatič M., Kulyabov D. S. 2024. Numerical integration of highly oscillatory functions with and without stationary points. Mathematics. 12(2): 483–497. doi: https://doi.org/10.3390/math12020307.

Rivera J. A., Taylor J. M., Omella A. J., Pardo D. 2022. On quadrature rules for solving partial differential equations using neural networks. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 393: 114710. doi: https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.114710.

Gnewuch M., Dick J., Markhasin L., Sickel W. 2026. QMC integration based on arbitrary (????, ????, ????)-nets yields optimal convergence rates on several scales of function spaces. Constructive Approximation. 63: 647–711. doi: https://doi.org/10.1007/s00365-026-09733-y.

Micula S. 2023. Iterative numerical methods for a Fredholm–Hammerstein integral equation with modified argument. Symmetry. 15(1): Art. 66. doi: https://doi.org/10.3390/sym15010066.

Mahesar S., Shaikh M. M., Chandio M. S., Shaikh A. W. 2022. Some new time and cost efficient quadrature formulas to compute integrals using derivatives with error analysis. Symmetry. 14(12): Art. 2611. doi: https://doi.org/10.3390/sym14122611.

Shadimetov K. 1985. Discrete analogue of the operator ????2????/????????2???? and its construction. Voprosy Vychislitel’noy i Prikladnoy Matematiki. 79: 22–35. (In Russian)

Shadimetov K. M., Hayotov A. R. 2022. Optimal approximation of the error functionals of quadrature and interpolation formulas in spaces of differentiable functions. Tashkent: Muhr Press. 246 p.

Hayotov A. R., Jeon S., Lee C.-O., Shadimetov K. M. 2021. Optimal quadrature formulas for non-periodic functions in Sobolev space and its application to CT image reconstruction. Filomat. 35(12): 4177–4195. doi: https://doi.org/10.2298/FIL2112177H.

Shadimetov K. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. 2013. On an optimal quadrature formula in the Sobolev space ????(2????)2 (0, 1). Journal of Computational and Applied Mathematics. 243: 91–112.

Shadimetov K. M., Nuraliev F. A., Kuziev S. S. 2024. Optimal quadrature formula of Hermite type in the space of differentiable functions. International Journal of Analysis and Applications. 22: Art. 250. doi: https://doi.org/10.28924/2291-8639-22-2024-25.

Shadimetov K., Hayotov A., Nuraliev F. 2022. Construction of optimal interpolation formulas in the Sobolev space. Journal of Mathematical Sciences. 264(6): 782–793.

Nuraliev F. 2021. Cubature formulas of Hermite type in the space of periodic functions of two variables. AIP Conference Proceedings. 2365: Art. 020031. doi: https://doi.org/10.1063/5.0057255.

Shadimetov K. M., Nuraliev F. A., Edilbekova R. M. 2025. System for finding optimal coefficients of Hermite-type quadrature formulas with third-order derivatives. Problems of Computational and Applied Mathematics. No. 4: 88–96.

Nuraliev F. A., Edilbekova R. M. 2026. The coefficients of the derivative optimal quadrature formula. Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan. No. 2: 26–31.

Nuraliev F. A., Edilbekova R. M. 2025. Optimal quadrature formula with derivative in Sobolev space ????(4)2 (0, 1). ISJCTMM. 3(2): 37–45.

Hamming R. V. 1968. Numerical methods. Moscow: Nauka. 400 p. (In Russian)