Квадратурная формула для оптимального приближения определенных интегралов с полиномиальным весом

А.Р. Хаётов; С.И. Исмоилов

doi:10.71310/pcam.4_74.2026.07

Авторы

А.Р. Хаётов Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз Автор
С.И. Исмоилов Ташкентский международный Вестминстерский университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4_74.2026.07

Ключевые слова:

оптимальная квадратурная формула, весовой интеграл, метод ????-функций, пространство дифференцируемых функций, функционал погрешности

Аннотация

Классические квадратурные правила не всегда учитывают одновременно структуру веса, геометрию узлов и функциональный класс подынтегральной функции, поэтому актуально построение формул, оптимальных по норме функционала погрешности. Цель работы состоит в построении оптимальной в смысле Сарда квадратурной формулы для интеграла с полиномиальным весом в пространстве дифференцируемых функций с квадратично интегрируемой первой производной при фиксированной системе узлов. Используется метод ????-функций. Остаточный член представляется через производную подынтегральной функции, после чего задача минимизации нормы функционала погрешности распадается на независимые задачи на каждом частичном отрезке. Постоянные интегрирования выбираются из условий минимума соответствующих квадратичных функционалов. Получены явные выражения для оптимальных коэффициентов на произвольной неравномерной сетке и их упрощенная форма для равномерной сетки. Результаты численных экспериментов сопоставлены с составной формулой трапеций на тех же узлах. Для нелинейных тестовых функций оптимальная формула дает меньшую абсолютную погрешность, а для линейной функции воспроизводит значение интеграла с машинной точностью. Экспериментальный порядок убывания погрешности близок ко второму. Полученные коэффициенты непосредственно применимы на адаптивных и неравномерных сетках и позволяют учитывать полиномиальный вес без предварительного преобразования интеграла.

Библиографические ссылки

Sard A. Best approximate integration formulas; best approximation formulas // American Journal of Mathematics. — 1949. — Vol. 71, №1. — P. 80–91.

Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи математических наук. — 1950. — Т. 5, вып. 2. — С. 165–177.

Никольский С. М. Квадратурные формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.

Соболев С. Л. Коэффициенты оптимальных квадратурных формул // Доклады АН СССР. — 1977. — Т. 235, №1. — С. 34–37.

Шадиметов Х. М., Хаётов А. Р. Оптимальные квадратурные формулы в пространствах Соболева. — Ташкент: Fan va texnologiya, 2012.

Sard A. Linear approximation. — 2nd ed. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1963.

Babo¸s A., Acu A. M. Note on corrected optimal quadrature formulas in the sense Nikolski // Applied Mathematics and Information Sciences. — 2015. — Vol. 9, №3. — P. 1231–1238.

Meyers L. F., Sard A. Best approximate integration formulas // Journal of Mathematics and Physics. — 1950. — Vol. 29. — P. 118–123.

Coman G. Formule de cuadrature de tip Sard // Studia Universitatis Babe¸s-Bolyai Mathematica-Mechanica. — 1972. — Vol. 17, №2. — P. 73–77.

Coman G. Monosplines and optimal quadrature formulae // Rendiconti di Matematica. — 1972. — Vol. 5, №3. — P. 567–577.

Catina¸s T., Coman G. Optimal quadrature formulas based on the ????-function method // Studia Universitatis Babe¸s-Bolyai Mathematica. — 2006. — Vol. 51, №1. — P. 49–64.

Ghizzetti A., Ossicini A. Quadrature Formulae. — Berlin: Akademie Verlag, 1970.

Schoenberg I. J. On trigonometric spline interpolation // Journal of Mathematics and Mechanics. — 1964. — Vol. 13. — P. 795–825.

Schoenberg I. J. On monosplines of least deviation and best quadrature formulae // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. — 1965. — Vol. 2. — P. 144–170.

Schoenberg I. J. On monosplines of least square deviation and best quadrature formulae II // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1966. — Vol. 3. — P. 321–328.

Schoenberg I. J., Silliman S. D. On semicardinal quadrature formulae // Mathematics of Computation. — 1973. — Vol. 27, №126. — P. 483–497.

K¨ohler P. On the weights of Sard’s quadrature formulas // Calcolo. — 1988. — Vol. 25, №3. — P. 169–186.

Lanzara F. On optimal quadrature formulae // Journal of Inequalities and Applications. — 2000. — Vol. 5. — P. 201–225.

Шадиметов Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространстве Соболева. — Ташкент: Fan va texnologiya, 2019. — 223 с.

Шадиметов Х. М., Хаётов А. Р. Оптимальная аппроксимация функционалов погрешностей квадратурных и интерполяционных формул в пространствах дифференцируемых функций. — Ташкент: Muhr Press, 2022. — 247 с.

Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in ????(????,????−1) 2 space // Calcolo. — 2014. — Vol. 51, №2. — P. 211–243.

Boltaev N. D., Hayotov A. R., Khudayberdiev M. Optimal quadrature formula for approximate calculation of Fourier coefficients in ????(1,0) 2 space // Problems of Computational and Applied Mathematics. — 2015. — Vol. 1, №1. — P. 71–77.

Boltaev N. D., Hayotov A. R., Milovanovi´c G. V., Shadimetov Kh. M. Optimal quadrature formulas for numerical evaluation of Fourier coefficients in ????(????,????−1) 2 // Journal of Applied Analysis and Computation. — 2017. — Vol. 7, №4. — P. 1233–1266.

Hayotov A. R., Rasulov R. G. The order of convergence of an optimal quadrature formula with derivative in the space ????(1,0) 2 // Filomat. — 2020. — Vol. 34, №11. — P. 3835–3844.

Hayotov A. R., Kuldoshev H. M. An optimal quadrature formula with sigma parameter // Problems of Computational and Applied Mathematics. — 2023. — №2/1(48). — P. 7–19.