Численное моделирование задач теории упругости в напряжениях методом конечных элементов

А.А. Халджигитов; А.А. Бобоназаров; Р.А. Рахмонова

doi:10.71310/pcam.3_73.2026.09

Авторы

А.А. Халджигитов Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
А.А. Бобоназаров Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
Р.А. Рахмонова Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.3_73.2026.09

Ключевые слова:

задача в напряжениях, вариационная задача, метод Галеркина, МКЭ, базисные функции, задача Кирша, FreeFEM++

Аннотация

Статья посвящена постановке плоских задач теории упругости в напряжениях и их численному решению методом конечных элементов Галёркина. На основе уравнений равновесия, геометрических соотношений и физических законов упругости сформулирована система дифференциальных уравнений, описывающая напряжённое состояние упругой среды в плоской постановке. Метод Галёркина позволяет получить слабую форму краевой задачи и перейти к дискретной модели. Построены билинейные формы и локальные матрицы конечных элементов, необходимые для формирования глобальной системы алгебраических уравнений. Для практической реализации созданы программы на языках C++ и FreeFEM++. Достоверность подхода подтверждена на классической задаче Кирша о распределении напряжений вокруг кругового отверстия в упругой пластине: результаты обеих программ хорошо согласуются между собой и с известными аналитическими решениями, что подтверждает корректность постановки и применимость метода.

Библиографические ссылки

Kirsch G. Die Theorie der Elastizit¨at und die Bed¨urfnisse der Festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure. – 1898. – Vol. 42. – P. 797–807.

Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien R¨andern // Annalen der Physik. – 1909. – Vol. 333 (4). – P. 737–786. doi: http://dx.doi.org/10.1002/andp.19093330403.

Nowacki W. Theory of Elasticity. – Oxford; New York: Pergamon Press, 1970.

Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity. – 3rd ed. – New York: McGraw-Hill, 1970.

Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977.

Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. – 7th ed. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2013. doi: http://dx.doi.org/10.1016/C2009-0-24909-9.

Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Издательство МГУ, 1981. – 569 с.

Borodachev N.M. Three-dimensional problem of the theory of elasticity in strains // Strength of Materials. – 1995. – Vol. 27. – P. 296–299. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02208501.

Kucher V., Markenscoff X., Paukshto M. Some Properties of the Boundary Value Problem of Linear Elasticity in Terms of Stresses // Journal of Elasticity. – 2004. – Vol. 74. – P. 135–145.

Li S., Gupta A., Markenscoff X. Conservation laws of linear elasticity in stress formulations // Proceedings of the Royal Society A. – 2005. – Vol. 461. – P. 99–116. doi: http://dx. doi.org/10.1098/rspa.2004.1347.

Georgievskii D.V. General solutions of weakened equations in terms of stresses in the theory of elasticity // Moscow University Mechanics Bulletin. – 2013. – Vol. 68. – P. 1–5. doi: http://dx.doi.org/10.3103/S0027133013010019.

Patnaik S.N., Hopkins D.A. Completed Beltrami–Michell formulation for analyzing radially symmetrical bodies // International Journal of Physical Sciences. – 2007. – Vol. 9(5). doi: http://dx.doi.org/10.2514/6.2006-2124.

Andrianov I., Topol H. Compatibility conditions: number of independent equations and boundary conditions // Mechanics and Physics of Structured Media. – 2022. – P. 123–140. doi: http://dx.doi.org/10.1016/B978-0-32-390543-5.00011-6.

Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 376 с.

Rezini D., Khaldi A., Rahmani Y. On the Boundary Value Kirsch’s Problem // Journal of Mechanics. – 2016. – Vol. 32. – №1. – P. 1–10. doi: http://dx.doi.org/10.1017/jmech.2015.93.

Desai Y.M., Eldho T.I., Shah A.H. Finite element method with applications in engineering. – Cambridge: Cambridge University Press, 2010. – 816 p.

Eslami M.R., Hetnarski R.B., Ignaczak J., Noda N., Sumi N., Tanigawa Y. Theory of Elasticity and Thermal Stresses: Explanations, Problems and Solutions. – Cham: Springer, 2013. doi: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-6356-2.

Sadd M.H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. – Amsterdam: Elsevier Academic Press, 2005. doi: http://dx.doi.org/10.1016/B978-0-12-374446-3.X0001-6.

Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. – Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2008. – 256 с.

Ректорис И. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1985. – 352 с.

Халджигитов А.А., Тиловов О.У., Саломов Н.О. О численном решении плоских задач теории упругости в напряжениях // XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. – Санкт-Петербург, 2023.

Khaldjigitov A., Tilovov O., Xasanova Z. A new approach to problems of thermoelasticity in stresses // Journal of Thermal Stresses. – 2024. – Vol. 47. – №9. – P. 1228–1241. doi: http://dx.doi.org/10.1080/01495739.2024.2379803.

Khaldjigitov A., Khasanova Z., Djumayozov U., Tilovov O., Bobonazarov A. Plane problems in strains for orthotropic bodies // AIP Conference Proceedings. – 2025. – Vol. 3265. doi: http://dx.doi.org/10.1063/5.0265086.