An Explicit-Implicit Difference Scheme for a two-Dimensional Linear Hyperbolic System with Dynamic Boundary Conditions

R.D. Aloev; M.Kh. Ovlaeva; Ilyani Abdullah; N.T. Issayeva

doi:10.71310/pcam.2_72.2026.08

Авторы

Р.Д. Алоев Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
М.Х. Овлаева Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
Ильяни Абдуллаx Университет Малайзии Теренггану Автор
Н.Т. Исаева Казахский национальный педагогический университет имени Абая Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.2_72.2026.08

Ключевые слова:

гиперболическая система, динамическое граничное условие, разностная схема, направленное расщепление, явно–неявный метод, экспоненциальная устойчивость

Аннотация

В работе рассматривается двумерная линейная гиперболическая система с динамическими граничными условиями и предлагается разностная схема для ее численного решения. Построен явнo-неявный метод расщепления по направлениям, в котором аппроксимация выполняется явно по одному направлению и неявно по другому с сохранением диссипативной структуры граничных условий. Устойчивость схемы установлена при выполнении условия Куранта–Фридрихса–Леви и линейного матричного неравенства. Показано, что дискретная энергия экспоненциально убывает со временем. Численные эксперименты подтверждают теоретические результаты, демонстрируя монотонное убывание нормы ????₂ и согласование с точным решением. Предложенный метод является устойчивым, диссипативным и вычислительно эффективным и может применяться для двумерных гиперболических систем с динамическими граничными условиями.

Библиографические ссылки

Coron J.M., Bastin G., d'Andréa Novel B. Dissipative boundary conditions for one-dimensional nonlinear hyperbolic systems // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2008. – Vol. 47. – Issue 3. – P. 1460-1498. doi: http://dx.doi.org/10.1137/06066363X.

Prieur C., Winkin J., Bastin G. Robust boundary control of systems of conservation laws // Mathematics of Control, Signals, and Systems – 2008. – Vol. 20. – Issue 2. – P. 173-197. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s00498-007-0018-0.

Bastin G., Coron J.M., d'Andréa Novel B. On Lyapunov stability of linearized Saint-Venant equations for a sloping channel // Networks and Heterogeneous Media – 2009. – Vol. 4. – Issue 2. – P. 177-187. doi: http://dx.doi.org/10.3934/nhm.2009.4.177.

Castillo F., Witrant E., Dugard L. Contrôle de température dans un flux de Poiseuille // Proceedings of IEEE Conférence Internationale Francophone d'Automatique – 2012. – Grenoble, France.

Castillo F., Witrant E., Prieur C., Dugard L. Dynamic boundary stabilization of hyperbolic systems // Proceedings of the 51st IEEE Conference on Decision and Control (CDC) – 2012. – Maui, HI, USA. doi: http://dx.doi.org/10.1109/CDC.2012.6425820.

Aloev R., Berdyshev A., Bliyeva D., Dadabayev S., Baishemirov Z. Stability analysis of an upwind difference splitting scheme for two-dimensional Saint-Venant equations // Symmetry. – 2022. – Vol. 14. – Article 1986. doi: http://dx.doi.org/10.3390/sym14101986.

Aloev R.D., Dadabaev S.U. Stability of the upwind difference splitting scheme for symmetric-hyperbolic systems with constant coefficients // Results in Applied Mathematics. – 2022. – Vol. 16. – Article 100298. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100298.

Aloev R.D., Hudayberganov M.U. A discrete analogue of the Lyapunov function for hyperbolic systems // Journal of Mathematical Sciences – 2022. – Vol. 268. – P. 640-651. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-022-06028-y.

Aloev R.D., Eshkuvatov Z.K., Khudoyberganov M.U., Nematova D.E. The difference splitting scheme for $n$-dimensional hyperbolic systems // Malaysian Journal of Mathematical Sciences – 2022. – Vol. 16. – Issue 3. – P. 421-438.

Aloev R., Khasanov M., Berezovsky A. Construction and research of adequate computational models for quasilinear hyperbolic systems // Numerical Algebra, Control and Optimization. – 2018. – Vol. 8. – Issue 2. – P. 161-177. doi: http://dx.doi.org/10.3934/naco.2018017.

Berdyshev A., Aloev R., Abdiramanov Z., Ovlaeva M. An explicit–implicit upwind difference splitting scheme in directions for a mixed boundary control problem for a two-dimensional symmetric-hyperbolic system // Symmetry. – 2023. – Vol. 15. – Article 1863. doi: http://dx.doi.org/10.3390/sym15101863.

Aloev R.D., Ovlaeva M.Kh. Construction and study of the stability of a difference scheme for a linear hyperbolic system with dynamic boundary // Uzbek Mathematical Journal. – 2023. – Vol. 67. – Issue 2. – P. 17-24. doi: http://dx.doi.org/10.29229/uzmj.2023-2-2.

Aloev R.D., Ovlaeva M.Kh., Nishonaliyeva M. Construction and stability analysis of a difference scheme for a linear hyperbolic system with dynamic boundary conditions // Proceedings of the VII International Scientific and Technical Conference “Problems of Mechanical Engineering”. – 2023. – Omsk, Russia.

Aloev R.D., Ovlaeva M.Kh. Numerical solution of a mixed problem for a hyperbolic system with dynamic boundary conditions // Proceedings of the International Scientific and Practical Conference “System Analysis and Modeling in Economy and International Relations”. – 2026. – Tashkent, Uzbekistan. doi: http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.18217074.

Horn R.A., Johnson C.R. Matrix Analysis. – 2nd ed. – 2013. – Cambridge: Cambridge University Press.