Численное моделирование задачи коши для сингулярно возмущенного уравнения третьего порядка

Аннотация

В данной статье представлен высокоточный и эффективный метод – дискретный вариант метода предварительного интегрирования для численного решения задачу Коши для сингулярно возмущенного уравнения третьего порядка. Метод основан на разложение старшей производной дифференциального уравнения в конечный ряд по полиномам Чебышева первого рода с неизвестными коэффициентами разложения. Все низшие производные и приближённое решение дифференциального уравнения определяются путем предварительного интегрирования ряда для старшей производной с применением дискретной формулы интегрирования, понижающий порядок старшей производной. Таким образом, получаются основные алгебраические уравнения в предлагаемом методе. Присоединяя к этим основным уравнениям дополнительные уравнения, полученные из трех начальных условий, получается система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения для предложенного решения. Числа уравнений и числа неизвестных в полученной алгебраической система совпадают. Данная система решается стандартным методом в данной работе она решена методом Гаусса. Результаты расчётов показывают, что при произвольных значениях малого параметра задачи незначительное увеличение количества полиномов Чебышева приводит к уменьшению абсолютных погрешностей со скоростью геометрической прогрессии. Таким образом, предложенный дискретный вариант метода предварительного интегрирования не только является эффективным с вычислительной точки зрения, но являются высокоточным и достаточно универсальным для решения широкого класса задач для сингулярно возмущенных уравнений.