Численное моделирование краевой задачи для двухпараметрического сингулярно возмущённого дифференциального уравнения с использованием спектрально-сеточного метода

Аннотация

Известно, что решения краевых задач, связанных с двухпараметрическими сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, демонстрируют образование двух различных пограничных слоев, обычно возникающих вблизи концов области. Наличие этих узких областей, характеризующихся крутыми градиентами в решении, представляет собой значительную проблему для классических численных методов. В результате стандартные методы конечных разностей, конечных элементов или дискретизации низкого порядка часто не позволяют точно воспроизвести поведение слоев, если не используются чрезмерно мелкие сетки, что приводит к увеличению вычислительных затрат и снижению эффективности. Для решения этих проблем в данной работе предлагается эффективный спектрально -сеточный метод для численного решения краевых задач, включающих двухпараметрические сингулярные возмущения. Основная идея предлагаемого подхода заключается в сочетании высокой точности спектральных методов с тщательно разработанной сеткой, которая адаптируется к структуре пограничного слоя решения. Используя эту спектрально-сеточную структуру, исходная краевая задача преобразуется в эквивалентную систему алгебраических уравнений, которая может быть эффективно решена с помощью стандартных методов линейной алгебры. Для оценки эффективности предложенного метода были проведены обширные численные эксперименты. Полученные результаты систематически сравнивались с результатами, представленными в существующей литературе. Эти сравнения наглядно демонстрируют, что разработанный в данном исследовании спектрально-сеточный метод обеспечивает более высокую точность при относительно низких вычислительных затратах.