Решение задачи Дирихле методом перемещаемого узла

Аннотация

Метод перемещаемых узлов применяется при решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной области. Аппроксимируя оператор Лапласа с помощью перемещаемых узлов, мы получаем приближённо-аналитическое решение задачи Дирихле — то есть решение, выраженное в виде комбинации аналитических функций. Дальнейшее улучшение точности достигается за счёт применения метода прямых (method of lines). В рамках этого подхода пространственные переменные дискретизируются с использованием метода перемещаемых узлов, в результате чего исходная краевая задача для уравнения Пуассона в двумерной области трансформируется в обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) – двухточечную краевую задачу, где независимой переменной становится одна из координат (например, ????), а по другой координате (????). Каждое из полученных ОДУ описывает поведение решения вдоль линии, параллельной одной из осей, и содержит граничные условия, заданные на противоположных сторонах прямоугольной области. Таким образом, комбинация метода перемещаемых узлов с методом прямых позволяет перейти от двумерной задачи к одномерной. Для верификации эффективности предложенного подхода рассмотрены тестовые задачи с аналитически заданными решениями. Результаты подтверждают, что предложенный подход обеспечивает повышение точности решения.