Численное моделирование плоских упругопластических задач в деформациях

У.З. Джумаёзов; Р.А. Рахмонова; М.Н. Абдирахмонова

doi:10.71310/pcam.1_71.2026.06

Авторы

У.З. Джумаёзов Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий Автор
Р.А. Рахмонова Научно-исследовательский институт развития цифровых технологий и искусственного интеллекта Автор
М.Н. Абдирахмонова Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.1_71.2026.06

Ключевые слова:

условие совместности, пластичность, деформации, перемещения, конечно-разностные уравнения, напряжения, методы исключения и итерации

Аннотация

В данной статье в рамках условий совместности Сен-Венана сформулированы плоские задачи теории пластичности в деформациях, направленные на исследование напряжённо-деформированного состояния прямоугольной пластины в условиях упругопластического деформирования. Численная реализация поставленной задачи осуществлена с использованием конечно-разностного метода, на основе которого построены сеточные уравнения для компонент перемещений и деформаций в узлах прямоугольной расчётной области. Дискретизация позволила осуществить переход от дифференциальной формы краевой задачи к системе алгебраических разностных уравнений, пригодной для последующего устойчивого и эффективного численного решения. При формировании разностной схемы учитывались граничные условия различного типа, адекватно отражающие реальные режимы нагружения и условия закрепления пластины. Система разностных уравнений относительно деформаций решалась методом переменных направлений, обеспечивающим повышение вычислительной эффективности и улучшение сходимости при решении задач с выраженной нелинейностью. Применение данного метода способствовало снижению погрешности аппроксимации при сохранении высокой точности получаемых результатов. Проведено детальное сопоставление численных решений, полученных в постановках относительно перемещений и деформаций, при идентичных граничных и силовых условиях. Анализ результатов показал их качественное и количественное соответствие, выражающееся в близости распределений деформаций и напряжений по всей области прямоугольной пластины.

Библиографические ссылки

Ilyushin A.A. Plasticity. Elastoplastic deformations. – Moscow, 1948. (in Russian).

Kachanov L.M. Fundamentals of the theory of plasticity. – M.: Nauka, 1969. – 420 p.

Novatski V. Theory of elasticity. – M.: Mir, 1975. – 872 p.

Novatsky V. Dynamic problems of thermoelasticity. – M.: Mir, 1970. – 256 p.

Li S., Gupta A., Markenscoff X. Conservation laws of linear elasticity in stress formulations // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 2005. – Vol. 461. – P. 99-116. – doi: http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2004.1347.

Khaldjigitov A.A., Djumayozov U.Z. Numerical Solution of the Two-Dimensional Elasticity Problem in Strains // Mathematics and Statistics. – 2022. – Vol. 10, №5. – P. 1081-1088. – doi: http://dx.doi.org/10.13189/ms.2022.100518.

Borodachev N.M. Three-dimensional problem of the theory of elasticity in strains // Strength of Materials. – 1995. – Vol. 27. – P. 296-299. – doi: http://dx.doi.org/10.1007/bf02208501.

Turimov D., Khaldjigitov A., Djumayozov U., Kim W. Formulation and Numerical Solution of Plane Problems of the Theory of Elasticity in Strains // Mathematics. – 2024. – Vol. 12, №1. – Art. no. 71. – doi: http://dx.doi.org/10.3390/math12010071.

Pobedrya B.E. Numerical methods in the theory of elasticity and plasticity. – M.: Publishing House of Moscow State University, 1996. – 343 p.

Pobedrya B.E. Deformation theory of plasticity of anisotropic media // PMM. – 1984. – Vol. 48, №1. – P. 29-37.

Samarski A.A., Nikolaev E.S. Methods for solving grid equations. – M.: Science, 1978. – 592 p.

Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity. – McGraw-Hill, 1970. – 752 p.

Khaldjigitov A., Djumayozov U. Model Equations of the Theory of Elasticity in Strains: Classical and New Formulations // E3S Web of Conferences. – 2024. – Vol. 497. – doi: http://dx.doi.org/10.1051/e3sconf/202449702015.

Khaldjigitov A.A., Djumayozov U.Z., Sagdullayeva D.A. Numerical Solution of Coupled Thermo-Elastic-Plastic Dynamic Problems // Mathematical Modelling of Engineering Problems. – 2021. – Vol. 8, №4. – P. 510-518. – doi: http://dx.doi.org/10.18280/mmep.080403.

Khaldjigitov A.A., Kalandarov A.A., Djumayozov U.Z. Numerical modeling of coupled problems of thermo-plasticity on non-uniform meshes // AIP Conference Proceedings. – 2022. – doi: http://dx.doi.org/10.1063/5.0114013.

Abirov R.A., Khusanov B.E., Sagdullaeva D.A. Numerical modeling of the problem of indentation of elastic and elastic-plastic massive bodies // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 2020. – Vol. 971. – P. 1-9. – doi: http://dx.doi.org/10.1088/1757-899X/971/3/032017.

Abdikarimov R., Amabili M., Vatin N.I., Khodzhaev D. Dynamic stability of orthotropic viscoelastic rectangular plate of an arbitrarily varying thickness // Applied Sciences. – 2021. – Vol. 11, №13. – doi: http://dx.doi.org/10.3390/app11136029.

Borodachev N.M. Stress solutions to the three-dimensional problem of elasticity // International Applied Mechanics. – 2006. – Vol. 42. – P. 849–878. – doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10778-006-0154-4.

Ike C.C. On Maxwell’s Stress Functions for Solving Three Dimensional Elasticity Problems in the Theory of Elasticity // JCAMECH. – 2018. – Vol. 49, №2. – P. 342-350. – doi:http://dx.doi.org/10.22059/JCAMECH.2018.266787.330.

Georgiyevskiy D.V. Obshchiye resheniya neekvivalentnykh klassicheskoy sistem teorii uprugosti v napryazheniyakh // Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta. – 2012. – №6. – C. 26–32.

Andrianov I., Topol H. Chapter 6 – Compatibility conditions: number of independent equations and boundary conditions // Mechanics and Physics of Structured Media. – 2022. – P. 123-140. – doi: http://dx.doi.org/10.1016/b978-0-32-390543-5.00011-6.

Akhmedov A., Kholmanov N. Problems of the theory of elasticity in stresses // AIP Conference Proceedings. – 2022. – Vol. 2637(1). – P. 1-10. – doi: http://dx.doi.org/10.1063/5.0119144.

Akhmedov A.B., Kholmatov T. Solution of some problems on the equilibrium of a parallelepiped in stresses // Doklady Akademii nauk UzSSR. – 1982. – Vol. 6. – P. 7-9.

Gao Y., Zhao B.S. The Refined Theory of Thermoelastic Rectangular Plates // Journal of Thermal Stresses. – 2007. – Vol. 32(5). – P. 505-520. – doi: http://dx.doi.org/10.1080/01495730701212773.

Kartashev E. Model representations of heat shock in terms of thermal elasticity // Russian Technological Journal. – 2020. – Vol. 8(2). – P. 85-108.