Свойства решений систем уравнений теплопроводности, связанных с нелинейными граничными условиями

А.Р. Зарипова

doi:10.71310/pcam.1_71.2026.04

Авторы

А.Р. Зарипова Каршинский государственный университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.1_71.2026.04

Ключевые слова:

система нелинейных уравнений теплопроводности, глобальное решение, неограниченное решение, асимптотика

Аннотация

Данная статья посвящена исследованию свойств решений системы уравнений теплопроводности, связанной с нелинейными граничными условиями, построению автомодельных решений и нахождению их асимптотик, а также построению численных решений. На основе автомодельного анализа найдены условия глобальности решений во времени и формирования неограниченных решений. В частности, найдены значения критической экспоненты типа Фуджиты и критической экспоненты глобальности решения. Для решений системы уравнений теплопроводности, связанной с нелинейными граничными условиями, получены нижние и верхние оценки. Также предложен выбор начального приближения для итерационного процесса при численном решении системы уравнений теплопроводности, связанной с нелинейными граничными условиями.

Библиографические ссылки

Deng K., Levine H.A. Boundedness and blow up for a semi-liner rection-diffusion system // J. Math. Anal. Appl. М.. – 2000. – Vol 243. – P. 85-126 doi: http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.1999.6663.

Escobedo M., Herrero M.A. Boundedness and blow up for a semi-liner rection-diffusion system. J. Differential equations. Амстердам: – 2008. – Том 1. – №89(1991). – Vol 89. – P. 176-202 doi: http://dx.doi.org/10.1016/0022-0396(91)90118-S.

Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ???????? = Δ???? + ????1 + ????, // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.. – 1966. – Vol 13. – P. 105-113.

Galaktionov V.A., Levine H.A. On critical Fujita exponents for heat equations with nonlinear flux boundary condition. // Israel J. Math. – 1996. – Vol. 94. – №1(55). – P. 125-146. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02762700.

Galaktionov V.A., Kurdyunov S.P., Mikhailov A.P., Samarskii A.A. On blowing-up solutions to the Cauchy problem for the parabolic equation ???????? = Δ(????????Δ????+) + ???????? // Dokl. Akad. nauk SSSR Ser.Math. Phys.. – 1980. – Vol. 252. – №25(1980). – P. 458-459.

Levine H.A. The role of critical exponents in blow-up theorems // SIAM Rev. – 1990. – Vol. 32. – №32(1990). – P. 252-288.

Hu B., Yin H.M. On critical Fujita exponents for heat equations with a nonlinear flux boundary condition. // Ann, Inst. H. Poincarґe. – 1996. – Vol. 6. – №13(1996). – P. 707-732.

Hu B., Yin H.M. On critical Fujita exponents for heat equations with a mixed nonlinear Dirichlet-Neumann boundary condition. // J.Math. Anal. Appl. – 1997. – Vol. 11. – №209(2). – P. 683-711. doi: http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.1997.5361.

Huang W., Yin J., and Wang Y. On critical Fujita exponents for the porous equation with nonlinear boundary condition. // J. Math. Anal. Appl. – 2003. – Vol. 10. – №286(2003). – P. 369-377. doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00052-0.

Wanjuan Du, Zhongping Li Critical Exponents for the Heat Conduction Equation with a Nonlinear Boundary Condition. // Int. Journal of Math. Analysis. – 2013. – Vol. 7. – №9(12). – P. 517–524. doi: http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.13048.

Zhongping Li, Chunlai Mu. Critical curves for fast diffusive non-Newtonian equations coupled via nonlinear boundary flux. // Int. Journal of Math. Analysis. – 2008. – Vol. 340. – №340(2008). – P. 876–883. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.09.009.

Wu Z.Q., Zhao J.N., Yin J.X., Li H.L. Nonlinear Diffusion Equations. // World Sci-entific. – 2001. – Vol. 34. – №34(2001). – 640. p.

Mukhamadiyev A., Urunbaev J., Bobokandov M., Rakhmonov Z., Khujakulov T. A Self-Similar Analysis of the Solutions to the Cross-Diffusion System. // Mathematics. – 2026. – Vol. 83. – №14(1). – P. 1-18. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math14010083.

Aripov M.M., Rakhmonov Z.R., Alimov A.A. On the behaviors of solutions of a nonlinear diffusion system with a source and nonlinear boundary conditions. // Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. – 2024. – Vol. 113. – №10(2). – P. 28-45. doi: http://dx.doi.org/10.31489/2024m1/28-45.

Rakhmonov Z., Alimov A., Urunbaev J. On the behavior of solutions for a system of multidimensional diffusion equations with nonlinear boundary conditions. // AIP Conf. Proc. – 2024. – Vol. 10. – №1063(5). – 020032. p. doi: http://dx.doi.org/10.1063/5.0202583.

Yu Y., Chen Y., Zhou Y. Cross-Diffusion-Induced Turing Instability in a Two-Prey One-Predator System. // Mathematics. – 2023. – Vol. 11. – №11(11). – P. 8-20. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math11112411.

Li Q., Liao M.A. New Blow-Up Criterion to a Singular Non-Newton Polytropic Filtration Equation // Mathematics. – 2023. – Vol. 1352. – №11(16). – P. 356-380. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math11112411.

Ma W., Yan B. Global Existence and uniform blow-up to a nonlocal parabolic system with nonlinear boundary conditions arising in a thermal explosion theory // Mathematics. – 2023. – Vol. 1993. – №11(9). – P. 420-438. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math11091993.

Rakhmonov Z.R., Yarmetova D.I., Mamatkulova M.Sh. Analytical analysis of one nonlinear diffusion problem with a source specified by nonlinear boundary conditions in multidimensional space // Mathematics.. – 2023. – Vol. 38. – №1(2025). – P. 510-535. doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijam.v38i1s.56.

Rakhmonov Z., Urunbaev E., Urunbaev J., Joniev A. On a problem of multidimensional cross-diffusion with nonlinear boundary conditions // ijamjournal. – 2025. – Vol. 38. – №1(2025). – P. 987-996. doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijam.v38i1s.57.

Rakhmonov Z., Urunbaev J. On a problem of cross-diffusion with nonlocal boundary conditions // Jurn. SFU. Ser. Matem. i fiz. – 2019. – Vol. 38. – №1(2019). – P. 614-620. doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijam.v38i1s.57.