Оптимальная квадратурная формула для вычисления коэффициентов Фурье в гильбертовом пространстве

А.И. Курбонназаров

Авторы

А.И. Курбонназаров Термезский государственный университет Автор

Ключевые слова:

квадратурная формула, коэффициенты Фурье, функционал погрешности, экстремальная функция

Аннотация

В данной работе рассматривается построение оптимальной квадратурной формулы на основе функционального подхода для численного расчета коэффициентов Фурье. При этом сначала решим краевую задачу для экстремальной функции квадратурной формулы. С помощью экстремальной функции находится вид нормы функционала погрешности. Норма функционала погрешности зависит от коэффициентов и узлов. Находим минимальное значение нормы функционала по коэффициентам с заданными узлами. Таким образом, мы построим оптимальную квадратурную формулу с в гильбертовом пространстве. Порядок аппроксимации построенной квадратурной формулы ????(ℎ^3) и эта формула точна для гиперболического синуса, гиперболического косинуса и постоянного числа.

Библиографические ссылки

Milovanovi’с G.V. "Quadrature processes - development and new directions" Bulletin (Acad’emie serbe des sciences et des arts. Classe des sciences math’ematiques et naturelles. Sciences math’ematiques), – No. 33 – 2008. – P. 11–41 – 31 p. https://www.jstor.org/stable/44095600.

Hayotov A.R., Milovanovi’с G. V., Shadimetov Kh.M. Optimal Quadrature Formulas and Interpolation Splines Minimizing the Semi-Norm in the Hilbert Space ????2 (????2) . Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions. – 2014. – P. 573–611.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. and Bozarov B. Optimal quadrature formulas for oscillatory integrals in the Sobolev space. // Journal of Inequalities and Applications, 103 – 2022. – P. 1–21. https://doi.org/10.1186/s13660-022-02839-4

Hayotov A.R., Khayriev U.N. Optimal quadrature formulas in the space ̃︁????????,????−1 2 of periodic functions. // Vestnik КRAUNC. Fiz.-Mat. nauki, – 2022. – vol. 40, – no. 3, – P. 211–226. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2022-40-3-211-226

Hayotov A.R., Khayriev U. N. Construction of an Optimal Quadrature Formulain the Hilbert Space of Periodic Functions. // Lobachevskii Journal of Mathematics, – 2022. – Vol. 43, – No. 11, – P. 3151–3160.

Alberg J., Nilson E. and Walsh J. Spline theory and its applications. // - 3rd ed. Reading, MA: Mir, Moscow, – 1972. – 316 p.

Hayotov A.R., Kurbonnazarov A.I. An optimal quadrature formula for the approximate calculation of Fourier integrals in the space ????(3) 2 (0, 1) . // Problems of computational and applied mathematics. – – No. 3/1(50) – 2023. – P. 183–196.

Kurbonnazarov A.I. Properties of the discrete analogue of the differential operator. // - Problems of computational and applied mathematics, – № 3/1(50) – 2023. – P. 20–29.

Sobolev S.L.. The coefficients of optimal quadrature formulas, Selected Works of S.L. Sobolev. // Springer, – 2006. – P. 561–566.

Hayotov A.R., Ahmadaliev G.N. A discrete analogue of the differential operator. // Uzbek mathematical journal, – 2017. – P. 10–12.

Ахмадалиев Г.Н. Погрешность оптимальной квадратурной формулы в одном гильбертовом пространстве. // Проблемы вычислительной и прикладной математики, – 2022. – № 5/1(44). – C. 5–13.

Boltaev N.D., Hayotov A.R., Milovanovi’с G. V. and Shadimetov Kh.M. Optimal quadrature

formulas for Fourier coefficients in ????(????,????−1) 2 space. // Journal of Applied Analysis and Computation, – vol. 7, – Num. 4, – 2017. – P. 1233–1266.

Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 49, – 1928. – P. 38–47.

Schoenberg I.J. On monosplines of last deviation and best quadrature formulae // J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B Numer. Anal., 2, – 1965. – P. 144–170.

Olver S. and Hall T. Numerical Approximation of Highly Oscillatory Integrals. // 2nd ed. Reading, MA: University of Cambridge, – 2008. – 158 p. (in English)

Iserles A. and Norsett S.P. Efficient quadrature of highly oscillatory integrals using derivatives. // Proc. R. Soc. A, – 2005. – P. 1383–1399.

Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М. Наука, – 1974. – 808 с.

Atkinson K. and Han W. Theoretical Numerical Analysis. Springer. Textbook. USA, – 2000. – P. 83–84.

Trefethen L.N.. Exactness of Quadrature Formulas. SIAM Review, – 2022. – vol. 64, – P. 1–17.

Laudadio T., Mastronardi N., Occorsio D. Computing integrals with an exponential weight on the real axis in floating point arithmetic. Applied Numerical Mathematics, – 2023. – P. 309–317.

Bultheel A., Cantero M.J., Cruz-Barroso R. Matrix methods for quadrature formulas on the unit circle. A survey.Journal of Computational and Applied Mathematics, – 2015. – P. 78–100.

Hinrichs A., Krieg D., Novak E, Vyb’ıral J. Lower bounds for the error of quadrature formulas for Hilbert spaces. Journal of Complexity, – Volume 65, 101544. – 2021.

Ogbereyivwe O and Ojo-Orobosa V.. High Order Quadrature Based Iterative Method for Approximating the Solution of Nonlinear Equations. Caspian Journal of Mathematical Sciences, – 2020. – P. 243–255.

Gander M.J., Lunet T. ParaStieltjes: Parallel computation of Gauss quadrature rules using a Parareal-like approach for the Stieltjes procedure.Numerical linear Algebra with Applications, – 2020. – P. 1–17.

Homeier H. H. H., Srivastava H. M., Masjed Jamei M., Moalemi Z. Some weighted quadrature methods based upon the mean value theorems. Mathematical Methods in the Applied Sciences, – 2020. – 44(5), – P. 3840–3856.

Bellet JB., Brachet M.,Croisille JP. QUADRATURE AND SYMMETRY ON THE CUBED SPHERE. Journal of Computational and Applied Mathematics, – 2022. – P. 1–17.

Mahesar S., Shaikh M.M., Chandio M.S. and Shaikh A.W. Some New Time and Cost Efficient Quadrature Formulas to Compute Integrals Using Derivatives with Error Analysis. Symmetry, – 2022. – 14(12), 2611.

Hayotov A.R., Jeon S., Lee Ch. On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space ????(1) 2 . Journal of Computational and Applied Mathematics, Page 112713, – Volume 372. – 2020.

Huda J.S., Noori Y.A. An Efficient Three-step Iterative Methods Based on Bernstein Quadrature Formula for Solving Nonlinear Equations. Basrah Journal of Science, – vol. 39(3), – 2021. – P. 355–383.

Shivaram K.T., Prakasha H.T. Введение в теорию кубатурных формул. Numerical Evaluation of Highly Oscillatory Integrals of Arbitrary Function Using Gauss-Legendre Quadrature Rule, – 2020. – P. 211–216.

Aimi A., Calabr`o F., Falini A., Sampoli M. L., and Sestini A. Quadrature formulas based on spline quasi-interpolation for hypersingular integrals arising in IgA-SGBEM. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, – 2020. – 113441.