An Optimal Quadrature Formula Exact to the Exponential Function

A.R. Hayotov; M.Sh. Shomalikova

doi:10.71310/pcam.5_69.2025.06

Авторы

А.Р. Хаётов Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз Автор
М.Ш. Шомаликова Центрально-Азиатский университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.5_69.2025.06

Ключевые слова:

Гильбертово пространство, оптимальная квадратурная формула, погрешность

Аннотация

Численное интегрирование определённых интегралов играет важную роль как в фундаментальных, так и в прикладных науках. Точность приближённого вычисления интегралов зависит от исходных данных и конкретных условий, которые накладывают различные требования на получаемые результаты. Традиционные методы численного анализа определённых интегралов, такие как квадратурные формулы, разработанные Грегори, Ньютоном-Котесом, Эйлером, Гауссом, Марковым и другими, являются хорошо изученными. С середины XX века развивается теория построения оптимальных формул численного интегрирования с использованием вариационных методов. Следует отметить, что существуют оптимальные квадратурные формулы в смысле, определённом Никольским и Сардом. Настоящая работа посвящена задаче построения оптимальной квадратурной формулы в подходе Сарда. В этом процессе применяется метод phi-функций. Погрешность формулы оценивается путём интегрирования квадрата phi-функции из определённого гильбертова пространства. Затем выбирается такая phi-функция, чтобы интеграл от её квадрата на данном интервале принимал минимальное значение. Наконец, на основе полученной phi-функции определяются коэффициенты оптимальной квадратурной формулы.

Библиографические ссылки

Hayotov A.R., Babaev S.S. Optimal interpolation formulas in the space W2(m,m−1)2 // Calcolo. – 2019. – Vol. 56, No. 23. – P. 1066-1088.

Boltaev N.D., Hayotov A.R., Khudayberdiev M. Optimal quadrature formula for approximate calculation of Fourier coefficients in space W2(1, 0)2 // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2015. – Vol. 1, No. 1. – P. 71-77.

Boltaev N.D., Hayotov A.R., Milovanović G.V., Shadimetov Kh.M. Optimal quadrature formulas for numerical evaluation of Fourier coefficients in W2(m,m−1) 2 // J. Appl. Anal. Comput.. – 2017. – Vol. 7, No. 4. – P. 1233-1266.

Boltaev N.D., Hayotov A.R., Shadimetov Kh.M. Construction of optimal quadrature formula for numerical calculation of Fourier coefficients in Sobolev space L2(1)2 // Amer. J. Numer. Anal.. – 2016. – No. 4. – P. 1-7.

Catinaş T., Coman Gh. Optimal quadrature formulas based on the ????-function method // Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math.. – 2006. – Vol. 51, No. 1. – P. 49-64.

Coman Gh. Formule de cuadratura de tip Sard // Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math.-Mech.. – 1972. – Vol. 17, No. 2. – P. 73-77.

Coman Gh. Monosplines and optimal quadrature formulae Lp // Rend. Mat.. – 1972. – Vol. 5, No. 6. – P. 567-577.

DeVore R., Foucart S., Petrova G., Wojtaszczyk P. Computing a quantity of interest from observational data // Constr. Approx.. – 2019. – Vol. 49. – P. 461-508.

Ghizzetti A., Ossicini A. Quadrature Formulae. – Berlin: Academie Verlag, 1970.

Hayotov A.R., Babaev S.S. Optimal quadrature formulas for computing of Fourier integrals in W2(m,m−1) 2 space // AIP Conference Proceedings. – 2021. – Vol. 2365. – 020021.

Hayotov A.R., Jeon S., Lee C.O. On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space ????(1) 2 // J. Comput. Appl. Math.. – 2020. – Vol. 372.

Hayotov A.R., Jeon S., Shadimetov Kh.M. Application of optimal quadrature formulas for reconstruction of CT images // J. Comput. Appl. Math.. – 2021. – Vol. 388.

Hayotov A.R., Kuldoshev H.M. An optimal quadrature formula with sigma parameter // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2023. – Vol. 48, No. 2/1. – P. 7-19.

Hayotov A.R., Rasulov R.G. The order of convergence of an optimal quadrature formula with derivative in the space ????(1, 0) 2 // Filomat. – 2020. – Vol. 34, No. 11. – P. 3835-3844.

Kahler P. On the weights of Sard’s quadrature formulas // Calcolo. – 1988. – Vol. 25, No. 3. – P. 169-186.

Lanzara F. On optimal quadrature formulae // J. Inequal. Appl.. – 2000. – No. 5. – P. 201-225.

Meyers L.F., Sard A. Best approximate integration formulas // J. Math. and Phys.. – 1950. – Vol. 29. – P. 118-123.

Nikolsky S.M. On the issue of estimates of approximations by quadrature formulas // Advances in Math. Sciences. – 1950. – Vol. 5, No. 3. – P. 165-177.

Nikolsky S.M. Quadrature Formulas. – 4th ed. – Moscow: Nauka, 1988.

Sard A. Best approximate integration formulas, best approximate formulas // Amer. J. Math.. – 1949. – Vol. 71. – P. 80-91.

Sard A. Linear Approximation. – 2nd ed. – Providence, Rhode Island: American Math. Society, 1963.

Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. Mech.. – 1964. – Vol. 13. – P. 795-825.

Schoenberg I.J. On monosplines of least deviation and best quadrature formulae // Indust. Appl. Math. Ser. B Numer. Anal.. – 1965. – Vol. 2. – P. 144-170.

Schoenberg I.J. On monosplines of least square deviation and best quadrature formulae II // SIAM J. of Numer. Anal.. – 1966. – Vol. 3. – P. 321-328.

Schoenberg I.J., Silliman S.D. On semicardinal quadrature formulae // Math. Comp.. – 1973. – Vol. 27. – P. 483-497.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in W2(m,m−1)2 space // Calcolo. – 2014. – Vol. 51, No. 2. – P. 211-243.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Optimal Approximation of Error Functionals of Quadrature and Interpolation Formulas in Spaces of Differentiable Functions. – Tashkent: Muhr Press, 2022.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R., Akhmedov D.M. Optimal quadrature formulas for Cauchy type singular integrals in Sobolev space // Appl. Math. Comput.. – 2015. – Vol. 263. – P. 302-314.

Sobolev S.L. Introduction to the Theory of Cubature Formulas. – Moscow: Nauka, 1974.

Sobolev S.L. Coefficients of optimal quadrature formulas // Doklady Akademii Nauk SSSR. – 1977. – Vol. 235, No. 1. – P. 34-37.