Оптимальные квадратурные формулы для приближенного вычисления быстро-осциллирующих интегралов

Х.М. Шадиметов; Ф.А. Нуралиев; Д.М. Миркомилов

doi:10.71310/pcam.4_68.2025.08

Авторы

Х.М. Шадиметов Ташкентский Государственный Транспортный Университет Автор
Ф.А. Нуралиев Ташкентский международный университет Автор
Д.М. Миркомилов Ташкентский государственный транспортный университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4_68.2025.08

Ключевые слова:

пространство Соболева, оптимальные коэффициенты, функционал погрешности, экстремальная функция

Аннотация

В статье исследуются оптимальные квадратурные формулы, предназначенные для приближённого вычисления быстроосциллирующих интегралов, которые встречаются во многих прикладных задачах математической физики, теории сигналов и вычислительной математики. Работа основана на постановке и решении задачи Сарда в пространстве Соболева, где квадратурные формулы строятся с учётом не только значений подынтегральной функции, но и её производных в узловых точках. Такой подход позволяет существенно повысить точность аппроксимации. Для нахождения оптимальных коэффициентов квадратурной формулы применяется метод Соболева, что даёт возможность вывести аналитическое выражение для нормы функционала погрешности. На основе использования экстремальной функции и теоремы Рисса построена краевая задача, решение которой позволяет получить явный вид оптимальных коэффициентов и точную оценку погрешности. Представленные результаты обладают строгим теоретическим обоснованием и подтверждают эффективность предложенного метода. Полученные оптимальные квадратурные формулы обеспечивают высокую точность при вычислении интегралов с быстроосциллирующими ядрами, что открывает перспективы для их применения в численных методах решения дифференциальных уравнений, моделировании физических процессов и других областях вычислительной математики.

Библиографические ссылки

Iserles A., Norsett S.P. On quadrature methods for highly oscillatory integrals and their implementation BIT Numerical Mathematics, – 2004. T. 44. – №4. – P. 755–772. doi: http: //dx.doi.org/10.1023/B:BITN.0000046819.28529.f3.

Iserles A., Norsett S.P. Efficient quadrature of highly oscillatory integrals using derivatives Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., – 2005. T. 461. – №2060. – P. 1383–1399. doi: http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2004.1420.

Novak E., Zhang S. Optimal quadrature formulas for the Sobolev space ????1 J. Sci. Comput., – 2019. T. 78. – №1. – P. 274–289. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10915-018-0792-1.

Shadimetov Kh.M., Gulomov O.Kh. Optimal quadrature formulas for calculating integrals of rapidly oscillating functions J. Math. Sci., – 2023. T. 277. – №4. – P. 446–457. doi: http: //dx.doi.org/10.1007/s10958-023-06765-5.

Hayotov A.R., Khayriev U.N. Construction of an optimal quadrature formula in the Hilbert space of periodic functions Lobachevskii J. Math., – 2022. T. 43. – №11. – P. 3151–3160. doi: http://dx.doi.org/10.1134/S1995080222110149.

Boltaev N.D., Hayotov A.R., Shadimetov Kh.M. Construction of optimal quadrature formulas for Fourier coefficients in Sobolev space ????(????) 2 (0, 1) Numer. Algorithms, – 2017. T. 74. – №2. – P. 307–336. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11075-016-0177-7.

Hayotov A.R., Jeon S., Shadimetov Kh.M. Optimal quadrature formulas for non-periodic functions in Sobolev space and its application to CT image reconstruction Filomat, – 2021. T. 35. – No 12. – P. 4177–4195. doi: http://dx.doi.org/10.2298/FIL2112177H.

Huybrechs D., Vandewalle S. On the evaluation of highly oscillatory integrals by analytic continuation SIAM J. Numer. Anal., – 2006. T. 44. – No 3. – P. 1026–1048. doi: http: //dx.doi.org/10.1137/050633027.

Wang Y., Xiang S. Levin methods for highly oscillatory integrals with singularities Sci. China Math., – 2022. T. 65. – No 3. – P. 603–622. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11425-020-1829-0.

He G., Liu Y. Efficient numerical quadrature for highly oscillatory integrals with Bessel function kernels Mathematics, – 2025. T. 13. – No 9. – Article 1508. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math13091508.

Iserles A., Maierhofer G. An accelerated Levin–Clenshaw–Curtis method for the evaluation of highly oscillatory integrals BIT Numerical Mathematics, – 2025. T. 65. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10543-025-01079-4

Ledoux V., Van Daele M. Interpolatory quadrature rules for oscillatory integrals J. Sci. Comput., – 2012. T. 53. – №3. – P. 586–607. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10915-012-9624-1.

Wu M., Wang H. Gaussian quadrature rules for composite highly oscillatory integrals Preprint (arXiv), – 2021. – arXiv:2106.04567. doi: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2106.04567.

Anand A., Dhiman D. Computation of highly oscillatory integrals using a Fourier extension approximation Preprint (arXiv), – 2024. – arXiv:2404.06789. doi: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2404.06789.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R., Nuraliev F.A. Optimal quadrature formulas with derivatives in Sobolev space Preprint (arXiv), – 2014. – arXiv:1410.8423 (submitted 30 Oct 2014) doi: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.1410.8423

Levin D. Fast integration of rapidly oscillatory functions J. Comput. Appl. Math., – 1996. – T. 67. – №1. – P. 95–101. doi: http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427(95)00115-8.

Levin D. Procedures for computing one- and two-dimensional integrals of functions with rapid irregular oscillations Math. Comp., – 1982. – T. 38. – №157. – P. 531–538. doi: http: //dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1982-0645660-5.

Huybrechs D., Edwin R.A.S. Highly oscillatory quadrature In: Highly Oscillatory Problems, Cambridge Univ. Press, – 2009. – P. 25–50. doi: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511611413.003.

Iserles A., Norsett S.P. Quadrature methods for multivariate highly oscillatory integrals using derivatives Math. Comp., – 2006. T. 75. – №255. – P. 1233–1258. doi: http://dx.

doi.org/10.1090/S0025-5718-06-01841-4.

Luke R. On the computation of oscillatory integrals Proc. Camb. Phil. Soc., – 1954. T. 50. – №2. – P. 269–277. doi: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100029492.