Оптимальная интерполяционная формула с производной в гильбертовом пространстве

Аннотация

Данное исследование посвящено разработке системы уравнений для определения коэффициентов оптимальных интерполяционных формул, включающих информацию о производных в рамках гильбертова пространства. Традиционные методы интерполяции, основанные исключительно на значениях функции в точках, часто оказываются недостаточными для функций с сложным или быстро меняющимся поведением. Для преодоления этого ограничения предложенный подход интегрирует данные о производных в процесс интерполяции, повышая устойчивость и точность получаемых формул. Формулировка задачи интерполяции в гильбертовом пространстве создаёт надёжную основу для вывода оптимальных коэффициентов. Основной аналитический вклад заключается в формировании системы уравнений, полученной с использованием вариационных принципов и таких инструментов, как теорема представления Рисса и операции свёртки. Решение этой системы позволяет явно вычислить оптимальные коэффициенты, которые легко применимы в практических задачах интерполяции. Данная методология особенно значима в числовом анализе, особенно в сценариях, где доступны данные о положении, направляющих векторах или скоростях объектов, поскольку включение информации о производных является интуитивно понятным и критически важным. Кроме того, подход применим в задачах аппроксимации данных, обработки сигналов и вычислительных контекстах, требующих восстановления функций из выборочных или зашумленных данных.