Дискретный вариант метода предварительного интегрирования и его применение к численному ришению сингулярно возмущенного уравнения

Ч.Б. Нормуродов; Э.Э. Шакаева; Ш.А. Зиякулова

doi:10.71310/pcam.2_64.2025.07

Авторы

Ч.Б. Нормуродов Термезский государственный университет Автор
Э.Э. Шакаева Термезский государственный университет Автор
Ш.А. Зиякулова Термезский государственный университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.2_64.2025.07

Ключевые слова:

Полиномы Чебышева, дискретный вариант, предварительное интегрирование, высокая точность, малый параметр

Аннотация

В данной статье неоднородное сингулярно возмущенное уравнение четвёртого порядка численно моделируется дискретным вариантом метода предварительного интегрирования. В предлагаемом методе в качестве базисных функций используются полиномы Чебышева первого рода. Старшей производной дифференциального уравнения разлагается в конечный ряд по этим полиномам с неизвестными коэффициентами разложения. Все низкие производные и решение дифференциального уравнения представляются в виде выбранного разложения. Затем найденные ряды ставятся в дифференциальное уравнение и получается система дискретных уравнений. Для полиномов Чебышева имеется дискретная формула интегрирования, которая понижает порядок производной. С применением этой формуле дискретная система четырехкратно интегрируется и получается система алгебраических уравнений, число уравнений в которых меньше чем число неизвестных коэффициентов. Недостающие уравнения получаются из краевых условий задачи. Операция интегрирования улучшают гладкость аппроксимирующих полиномов, например, полином нулевого порядка при четырехкратном интегрирование превращается в полином четвертого порядка. Проведелные численные расчёты показывают высокую точность и эффективность применяемого метода в значительно малых значениях параметра e.

Библиографические ссылки

Mason J.C., Handscomb D.C. Chebyshev polynomials. // Boca Raton: Chapman Hall/CRC.– 2003.– 335 p.

Gorev V., Gusev A., Korniienko V. Investigation of the Kolmogorov-Winner filter for continuous fractal processes on the basis of the Chebyshev polynomials of the first kind. // IAPGO´ S.– 2020.– P. 58–61. http://doi.org/10.35784/iapgos.912.

Agarwal P., Attary M., Maghasedi M., Kumam P. Solving Higher-Order Boundary and Initial Value Problems via Chebyshev–Spectral Method // pplication in Elastic Foundation.– 2020. Symmetry. 12.– P. 1–15. doi:10.3390/sym12060987 www.mdpi.com/journal/symmetry.

Bayubahe F., Nyengeri H., Nizigiyimana R., Mutankana J.P., Bayaga H.Power and Chebyshev Series Transformation Formulas with Applications to Solving Ordinary Differential Equations via the Fr¨ obenius and Taylor’s Methods // Open Access Library Journal.– 2021.– P. 1–19. doi: 10.4236/oalib.1107142.

Bychkov B.S., Shabat G.B. On generalizations of Chebyshev polynomials and Catalan numbers // Ufa Mathematical Journal.– 2021.– P. 8–14. doi:10.13108/2021-13-2-8.

Maulidi I., Wibowo B.A., Apriliani V., Umam R. The Characteristics of the First Kind of Chebyshev Polynomials and its Relationship to the Ordinary Polynomials // Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika. JTAM– 2021. 5(2):– P. 323–331. https://doi.org/10.31764/jtam.v5i2.4647

Adebisi A.F., Ojurongbe T.A., Okunlola K.A, Peter O.J. Application of chebyshev polynomial basis function on the solution of volterra integro-differential equations using galerkin method.– 2021. 2(4):– P. 41–51. DOI:10.30511/mcs.2021.540133.1047 ISSN:2717 2708 http://mcs.qut.ac.ir/

Ahmed H.M. Numerical Solutions for Singular Lane-Emden Equations Using Shifted Chebyshev Polynomials of the First Kind// Contemporary Mathematics.– 2023.– P. 132 149.

Yekimov S. The Chebyshev Polynomials Of The First Kind For Analysis Rates Shares Of Enterprises// Publishing house Education and Science.– 2023.

Rastogi R., Misra O.P. A Chebyshev polynomial approach to approximate solution of differential equations using differential evolution. // Engineering applications of artificial intelligence.– 2023. Volume 126(7-8):107197. https://doi.org/10.1016/j.engappai. 107197.

Fonseca C.M., Lawrence Glasser M., Kowalenko V. Chebyshev polynomials of the first kind and the univariate Lommel function:Integral representations // Open Mathematics– 2024.– P. 1–16. https://doi.org/10.1515/math-2024-0113.

Youssri Y.H., Laila A.A., Atta A.A. Spectral Collocation Approach for Time-Fractional Korteweg-deVries-Burgers Equation via First-Kind Chebyshev Polynomials // Contemporary Mathematics.– 2025.– Volume 8.– P. 1501–1519. DOI:https://doi.org/10.37256/cm.6220255948.

Абуталиев Ф.Б., Нормуродов Ч.Б. Математическое моделирование проблем гидроди намической устойчивости. // Ташкент: Фан ва технология,– 2011.– 188 с.

Normurodov Сh.B., Tursunova.B.A. Numerical modeling of the boundary value problem of an ordinary differential equation with a small parameter at the highest derivative by Chebyshev polynomials of the second kind // Results in Applied mathematics– 2023.– P. 1–6. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2023.100388

Абдурахимов Б.Ф., Джураева Н.Т. Численное моделирование сингулярно возмущенно го уравнения четвертого порядка методом предварительного интегрирования // Про блемы вычислительной и прикладной математики 024. Ташкент.– №:4(58).– С. 8–17.

Нормуродов Ч.Б., Зиякулова Ш.А. Численное моделирование уравнений эллиптическо го типа дискретным вариантом метода предварительного интегрирования // Проблемы вычислительной и прикладной математики.– 2024. Ташкент.– №:5(61).– С. 59–68.

Normurodov Ch.B., Abduraximov B.F., Djurayeva N.T. On Estimating the Rate of Convergence of the Initial Integration Method// International Scientific Conference on Modern Problems of Applied Science and Engineering: MPASE2024, 2–3 May 2024. Samarkand, Uzbekistan. — AIP Conf. Proc.3244,020061– 2024. https://doi.org/10.1063/5.0242041.

Normuradov Ch.B., Djurayeva N.T., Anuar M.S., Deraman F., Asi S.M. One Effective Method for Solving Singularly Perturbed Equations // Malaysian Journal of Science. 2025. 44 (1):– P. 62–68. DOI:https//doi.org/10.22452/mjs.vol44no1.8.