Осциллятор ФитцХью-Нагумо с переменной наследственностью и внешним воздействием

Н.Б. Алимова; Р.И. Паровик

doi:10.71310/pcam.1_63.2025.01

Авторы

Н.Б. Алимова Ташкентский государственный университет экономики Автор
Р.И. Паровик Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.1_63.2025.01

Ключевые слова:

дробный осциллятор ФитцХью-Нагумо, осциллограммы, фазовые траектории, нелокальная явная конечно-разностная схема, предельный цикл, устойчивость, бифуркационная диаграмма

Аннотация

В статье исследуются осциллограммы и фазовые траектории нелинейного осциллятора ФитцХью-Нагумо с переменной наследственностью (дробный осциллятор ФитцХью-Нагумо), построенные с помощью численного алгоритма нелокальной явной конечно-разностной схемы первого порядка точности. Модельное уравнение для дробного осциллятора ФитцХью-Нагумо содержит производные дробных переменных порядков типа Герасимова-Капуто, а также функцию внешнего воздействия, которые зависят от времени. Для нелокальной конечно-разностной схемы с помощью правила Рунге и компьютерных экспериментов дается оценка вычислительной точности. Показано, что при увеличении узлов расчетной сетки вычислительная точность стремится к теоретическим оценкам. Далее в статье проводится исследование динамических режимов дробного осциллятора ФитцХью-Нагумо с помощью бифуркационных диаграмм. Показано, что регулярные режимы могут характеризоваться не только релаксационными колебаниями, но и затухающими. Тип режима зависит от значений параметров внешнего воздействия, а также от значений начальных условий. Показано также, что предельные циклы не всегда могут быть устойчивыми. Были построены бифуркационные диаграммы, которые подтвердили динамику, полученную с помощью осциллограммах и фазовых траекториях.

Библиографические ссылки

FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal, – 1961. – no1. – P. 446–446.

Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. Ire., – 1962. – no 50. – P. 2061–2070.

Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J Physiol., — 1952. – no 117(4). – P. 500–544. doi: http://dx.doi.org/10.1113/jphysiol.1952.sp004764.

Казарников А.В., Ревина С.В. Монотонная неустойчивость в системе ФитцХью-Нагумо с диффузией // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, – 2018. – № 4(200). – C. 18–24.

Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физматлит, 2003. 272 с.

Lipko O.D. Mathematical model of propagation of nerve impulses with regard hereditarity // Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematiсeskie Nauki, – 2017. – no. 1(17). – P. 33–43. doi: http: //dx.doi.org/10.18454/2079-6641-2017-17-1-33-43.

Lipko O.D., Parovik R.I. Some aspects of investigation of limit cycles of Fitzhugh-Nagumo oscillator with degree memory // Journal of Physics: Conference Series, – 2018. – vol. 1141. 012125. doi: http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/1141/1/012125.

Lipko O.D., Parovik R.I. The study of chaotic and regular regimes of the fractal oscillators FitzHugh-Nagumo // E3S Web of Conferences, – 2018. – vol. 62. 02017. doi: http://dx.doi.org/10.1051/e3sconf/20186202017.

Novozhenova O.G. Life And Science of Alexey Gerasimov, One of the Pioneers of Fractional Calculus in Soviet Union // FCAA, – 2017. – vol. 20. – P. 790–809. doi: http://dx.doi.org/10.1515/fca-2017-0040.

Caputo M., Fabrizio M. On the notion of fractional derivative and applications to the hysteresis phenomena // Meccanica, – 2017. – vol. 52. – P. 3043–3052. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11012-017-0652-y.

Алимова Н.Б. Математическое моделирование автоколебаний нейрона в клеточной мембране с использованием дробной модели ФитцХью-Нагумо с функцией интенсивности раздражителя // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, – 2017. – Т. 48. № 3 – P. 59–69. doi: http://dx.doi.org/10.26117/2079-6641-2024-48-3-56-69.

Sun H., Chang A., Zhang, Y. et al. A Review on Variable-Order Fractional Differential Equations: Mathematical Foundations, Physical Models, Numerical Methods and Applications // FCAA, – 2019. – no. 22. P. 27–59. doi: http://dx.doi.org/10.1515/fca-2019-0003.

Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: A review // Proc. R. Soc. A R. Soc. Publ.– – 2020. – no. 476. – P. 20190498. doi: http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2019.0498.

Li´enard A. Etude des oscillations entretenues // Revue g´en´erale de l’´electricit´e, – 1928. – no. 23. – P. 901–912.

Perko L. Differential Equations and Dynamical System. Vol. 7. — Heidelberg: Springer Science & Business Media, – 2013. – 557 p.

Паровик Р.И. Существование и единственность задачи Коши для фрактального нелинейного уравнения осциллятора // Узбекский математический журнал. – 2017. – № 4. – C. 110–118.

Parovik R.I. Explicit Finite-Difference Scheme for the Numerical Solution of the Model Equation of Nonlinear Hereditary Oscillator with Variable-Order Fractional Derivatives // Archives of Control Sciences, – 2016. – vol. 26. – no. 3. – P. 429–435. doi: http://dx.doi.org/10.1515/acsc-2016-002.

Liengme B.V. Maple: A Primer. — London, UK: IOP Concise Physics, – 2019. – 171 p. doi: http://dx.doi.org/10.1088/2053-2571/ab0bb3

Imokrane J.F. Bien d´ebuter en MAPLE. — Toulouse, French: CEPADUES, – 2023. – 200 p.

Van Horn B.M. II, Nguyen Q. Hands-On Application Development with PyCharm: Build pplications like a Pro with the Ultimate Python Development Tool. — Birmingham, UK: Packt Publishing Ltd., – 2023. – 652 p.

Паровик, Р.И. Исследование бифуркационных диаграмм дробной динамической системы Селькова для описания автоколебательных режимов микросейсм / Р. И. Паровик // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, – 2024. – Т. 49. – №4. – С. 24–35. doi: http://dx.doi.org/10.26117/2079-6641-2024-49-4-24-35.

Bendixson I. Sur les courbes d´efinies par des ´equations diff´erentielles // Acta Math, – 1901. – vol. 24(1), – P. 1–88.

Parovik R.I. Studies of the Fractional Selkov Dynamical System for Describing the Self-Oscillatory Regime of Microseisms // Mathematics, – 2022. – vol. 10. – no. 22. 4208. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math10224208.

Ведяков И.И., Востров В.К. Аварийные расчетные ситуации и аварийные сейсмические нагрузки // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, – 2016. – №5. – С. 33–38.

Il’in V.P., Skopin I.N. About performance and intellectuality of supercomputer modeling // Programming and Computer Software, – 2016. – vol. 4. – no. 1. – P. 5–16. doi: http: //dx.doi.org/10.1134/S0361768816010047.