Об одной интерполяции функции натуральными сплайнами

А.К. Болтаев; О.Ф. Пардаева

doi:10.71310/pcam.3_67.2025.08

Авторы

А.К. Болтаев Международный Университет Нордик Автор
О.Ф. Пардаева Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.08

Ключевые слова:

пространство Гильберта, экстремальная функция, функционал погрешности, сплайн функция

Аннотация

Сплайн-функции являются одним из ключевых инструментов современной вычислительной математики, находящих широкое применение в задачах аппроксимации функций, интерполяции данных, численного моделирования и решения прикладных задач. В теории сплайнов существуют алгебраический и вариационный подходы. В алгебраическом подходе сплайны рассматриваются как некоторые гладкие кусочно-полиномиальные функции. В вариационном подходе сплайны понимаются как элементы гильбертова или банахова пространства, минимизирующие определенные функционалы. Затем изучаются проблемы существования, единственности и сходимости сплайнов и алгоритмы их построения на основе собственных свойств сплайнов. В настоящей работе изучается задача построения натуральных сплайн функций в гильбертовом пространстве. Здесь используя метод Соболева приведено алгоритм для решений системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов натуральных сплайн функций. При ???? = 2 получено явные выражение оптимаьных коэффициентов натуральных сплайн функции в гильбертовом пространстве ????(2,0) (0, 1).

Библиографические ссылки

Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part A: On the problem of smoothing or graduation. A first class of analytic approximation formulae. Part B: On the problem of osculatory interpolation. A second class of analytic approximation formulae. Quart. Appl. Math. – 1946. – Vol. 4. – P. 45–99.

Schoenberg I.J. Spline interpolation and the higher derivatives. Number Theory and Analysis. New York: Plenum – 1969. – P. 279–295.

Holladay J.C. Smoothest curve approximation. Math. Tables Aids Comput. – 1957. – Vol. 11. – P. 223–243.

de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree. J. Math. Mech. – 1963. – Vol. 12. – P. 747–749.

de Boor C. A practical guide to splines. New York Heidelberg Berlin: Springer, – 1978. –342 p.

Schumaker L.L. Spline functions: basic theory. Cambridge: Cambridge University Press, – 2007. – 600 p.

Mastroianni G., Milovanovi’c G.V. Interpolation processes. Basic theory and applications. — Berlin: Springer, – 2008.– 262 p.

Farin G.E. Curves and Surfaces for Computer-aided Geometric Design. Fourth Edition, Academic Press, – 1997. – 429 p.

Unser M. Splines: a perfect fit for signal and image processing. IEEE Signal Processing Magazine, – 1999. – Vol. 16. – no. 6. – P. 22–38.

Lehmann T.M., Gonner C., Spitzer K. Survey: Interpolation methods in medical image processing. IEEE Transactions on Medical Imaging, – 1999. – Vol. 18. – no. 11. – P. 1049–1075.

Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, –1976. – 248 с.

Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, – 1983. – 215 с.

Shadimetov Kh.M., Boltaev A.K. System for finding the optimal coefficients of an interpolation spline. AIP Conference Proceedings. – 2024. – 3004 p. https://doi.org/10.1063/5.0199834

Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М. Наука, – 1974. – 808 с.

Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Теория кубатурных формул. СО АН России. Новосибирск, – 1996. – 484 с.

Шадиметов Х.М. Дикретный аналог оператора и его построения. Проблемы вычислительной и прикладной математики. – 1985. – № 79. – С. 22–35.

Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in ????(????,????−1)

(0, 1) space. Calcolo, – 2014. – №2. – P. 211–243.

Hayotov A.R. The discrete analogue of a differential operator and its applications. Lithuanian Mathematical Journal, – 2014. – Vol. 54. – №3. – P. 290–307.

Boltaev A.K., Hayotov A.R., Shadimetov Kh.M. Construction of optimal quadrature formulas exact for exponentional-trigonometric functions by Sobolev’s method. Acta Mathematica Sinica, English series, – 2021. – Vol. 37. – №7. – P. 1066–1088.

Shadimetov Kh., Boltaev A., Parovik R. Optimization of the approximate integration formula using the discrete analogue of a high-order differential operator. Mathematics, – 2023. – Vol. 11. – 3114 p.

Hayotov A.R., Milovanovi’c G.V., Shadimetov Kh.M. Interpolation splines minimizing a semi-norm. Calcolo, – 2014. — Vol. 51. – no 2. – P. 245–260.