Numerical Study of Lyapunov Stability of an Upwind Difference Scheme for a Quasilinear Hyperbolic System

R.D. Aloev; A.S. Berdishev; D.E. Nematova

doi:10.71310/pcam.3_67.2025.07

Авторы

Р.Д. Алоев Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
А.С. Бердышев Казахский национальный педагогический университет Автор
Д.Э. Нематова Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.3_67.2025.07

Ключевые слова:

экспоненциальная устойчивость, гиперболическая система, смешанная задача, разностная схема, функция Ляпунова

Аннотация

В данной работе рассматривается смешанная задача для квазилинейной системы гиперболических уравнений, выраженной в инвариантах Римана, с учётом диссипативных нелинейных граничных условий. Для численного решения задачи предложена начально-граничная разностная проблема, основанная на разностной схеме против потока. Исследуется устойчивость нелинейных разностных схем с акцентом на установление достаточного критерия устойчивости, основанного на векторных

функциях Ляпунова. Предложенный критерий развивает предыдущие теоретические результаты, в которых была построена дискретная функция Ляпунова для доказательства экспоненциальной устойчивости стационарного состояния квазилинейной системы. Численные расчёты для модельной задачи подтверждают эти теоретические выводы. Исследование подчёркивает перспективность адаптации прямого метода Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных гиперболических систем путём построения положительно определённой функции, монотонно убывающей вдоль решений системы.

Библиографические ссылки

Aloev R.D., Berdyshev A.S., Bliyeva D., Dadabayev S.U., Baishemirov Z. 2022. Stability Analysis of an Upwind Difference Splitting Scheme for Two-Dimensional Saint–Venant Equations Symmetry. – Vol. 14. – Issue 10. – P.1–21. -doi: http://dx.doi.org/10.3390/sym14101986.

Aloev R.D., Dadabayev S.U. 2022. Stability of the upwind difference splitting scheme for symmetric t-hyperbolic systems with constant coefficients Results in Applied Mathematics. – Vol. 15 – P. 1–20. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100298.

Aloev R.D., Hudayberganov M.U. 2022. A Discrete Analogue of the Lyapunov Function for Hyperbolic Systems Journal of Mathematical Sciences(United States). – Vol. 264. – P. 661–671. doi: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-022-06028-y.

Aloev R.D., Eshkuvatov Z.K., Hudayberganov M.U., Nematova D.E. 2022. The Difference Splitting Scheme for n-Dimensional Hyperbolic Systems Malaysian Journal of Mathematical Sciences. – Vol. 16. – Issue 1. – P. 1–10. doi: http://dx.doi.org/10.47836/mjms.16.1.01.

Aloev R.D. et al. 2021. Development of an algorithm for calculating stable solutions of the Saint-Venant equation using an upwind implicit difference scheme Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. – Vol. 4. – Issue 112. – P. 47–56. doi: http://dx.doi.org/10.15587/1729-4061.2021.239148.

Banda M.K., Herty M. 2013. Numerical discretization of stabilization problems with boundary controls for systems of hyperbolic conservation laws Mathematical Control and Related Fields. – Vol. 3. – Issue 2. – P. 121–142. doi: http://dx.doi.org/10.3934/mcrf.2013.3.121.

Demidovich B.P. 1967. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti M.: Nauka, – 472 s.

Evtushenko Yu.G., Zhadan V.G. 1975. Application of the method of Lyapunov functions to study the convergence of numerical methods Zhurnal vichislitelnoy matematiki i matematicheckoy fiziki. – Vol. 11. – Issue 6. – P. 96–108. doi: http://dx.doi.org/10.1016/0041-5553(75)90138-X.

Guttlich S., Schillen P. 2017. Numerical discretization of boundary control problems for systems of balance laws: feedback stabilization European Journal of Control. – Vol. 35. –P. 11–18. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejcon.2017.02.002.

Coron J.M., Bastin G., dAndrea Novel B. 2007. A strict Lyapunov function for boundary control of hyperbolic systems of conservation laws IEEE Transactions on Automatic Control. – Vol. 52. – Issue 1. – P. 2–11. doi: http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2006.887903.

Lyapunov A.M. 1992. General problem of the stability of motion. L.: CRC Press. – 270 s.

Mapundi K. Banda and Gediyon Y. Weldegiyorgisa 2007. Numerical boundary feedback stabilization of non-uniform hyperbolic systems of balance laws International Journal of Control. – Vol. 93. – Issue. 6. – P. 1428–1441. doi: http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2006.887903.

Martynyuk D.I. 1972. Lektsii po kachestvennoy teorii raznostnix uravneniy. – K.: Naukova dumka. – 246 s.

Samarsky A.A. 1989. Teoriya rasnostniyx sxem. M.: Nauka. – 616 s.

Gediyon Y. Weldegiyorgis 2017. Numerical stabilization with boundary controls for hyperbolic systems of balance laws Available at: http://hdl.handle.net/2263/60870.

Zubov V.I 1957. Metodi Lyapunova i ix primenenie. L.: Izd-vo Leningr. un-ta, – 240 s.