Оптимальная квадратурная формула с производными для произвольно фиксированных узлов в пространстве Соболева

Аннотация

Численное вычисление определенных интегралов играет важную роль в различ ных прикладных и теоретических дисциплинах. Во многих случаях точная анали тическая оценка интегралов невозможна из-за сложности подынтегральной функ ции илихарактера пределов интегрирования. Квадратурные формулы обеспечивают эффективный подход к аппроксимации определенных интегралов, основываясь на взвешенных суммах значений функции в выбранных узлах. Традиционные квадра турные формулы, такие как формулы Ньютона-Котса, Гаусса, направлены на по вышение точности путем тщательного выбора узлов и весов. Однако оптимальные квадратурные формулы также могут быть построены в смысле Сарда, минимизируя норму функционала ошибки в заданном функциональном пространстве. В данной работе мы сосредотачиваемся на построении оптимальной квадратурной формулы в пространстве Соболева с произвольно фиксированными узлами. В отличие от тра диционных подходов, где коэффициенты определяются последовательно, мы одно временно оптимизируем как коэффициенты функции, так и коэффициенты её про изводной, что улучшает общую точность и стабильность. Вывод формулы основан на методе-функций, который позволяет явно выражать коэффициенты квадра турной формулы и анализировать их свойства ошибки. Полученная квадратурная формула минимизирует норму ошибки в выбранном функциональном пространстве, обеспечивая улучшенную аппроксимацию определенных интегралов. Кроме того, ес ли узлы равномерно распределены, наши результаты приводят к хорошо известной формуле Эйлера-Маклорена, что демонстрирует эффективность нашего подхода.