Regularization of the Initial-Boundary Value Problem for a Inhomogeneous Parabolic Equation with Changing Time Direction

I.O. Khajiev; E.B. Shobdarov

doi:10.71310/pcam.6_70.2025.06

Авторы

И.О. Хажиев Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Автор
Э.Б. Шобдаров Туринский политехнический университет в Ташкенте Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.6_70.2025.06

Ключевые слова:

параболическое уравнение с меняющимся направлением времени, некорректная задача, априорная оценка, единственность, условная устойчивость, метод множителей Лагранжа, регуляризация, приближенное решение

Аннотация

В данной работе исследована задача Коши с граничными условиями для неоднородного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Для построения решения применён метод разделения переменных (метод Фурье), в результате чего изучена соответствующая спектральная задача, определены собственные значения и собственные функции. Получена априорная оценка решения, доказаны теоремы единственности и условной устойчивости в множестве корректности. Построено регуляризованное решение задачи, соответствующее приближённым начальными данным. Для выбора параметра регуляризации оценена эффективность по норме разности между точным и регуляризованным решениями. Проведены численные эксперименты для различных наборов исходных данных, результаты которых представлены в виде таблиц и графиков. Из результатов видно, что регуляризованное решение, полученное для приближённых данных, близко к решению, полученному для точных данных, что подтверждает устойчивость метода к погрешностям в исходной информации.

Библиографические ссылки

Gevrey M. Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique // J. Math. Appl. – 1914. – Vol. 4. – P. 105-137. (In French)

Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une équation d’évolution changeant de type // Journal of Functional Analysis. – 1968. – Vol. 2, Issue 3. – P. 352-367. doi: http://dx.doi.org/10.1016/0022-1236(68)90012-8. (In French)

Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Annali di Matematica Pura ed Applicata (Series 4). – 1971. – Vol. 90, Issue 1. – P. 1-57. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02415041.

Cattabriga L. Some remarks on the propagation of Gevrey regularity for solutions of linear partial differential equations with constant coefficients // Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. – 1958. – Vol. 52, Issue 1. – P. 485-496. doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF02925026.

Tersenov S.A. Parabolic equations with changing time direction [Parabolicheskiye uravneniya s menyayushchimsya napravleniyem vremeni]. – Novosibirsk: Nauka, 1985.

Romanko V.K. Eigenvalues of boundary value problems for certain equations which change type // Differentsial’nye Uravneniya. – 1983. – №10. – P. 1759-1764. (In Russian)

Vragov V.N., Podgaev A.G. On well-posed problems for some equations of variable type // Sov. Math., Dokl. – 1981. – Vol. 24. – P. 253-257.

Pyatkov S.G. Boundary value problems for some classes of singular parabolic equations // Mat. Tr. – 2003. – №2. – P. 144-208. (In Russian)

Kerefov A.A. The Gevrey problem for a certain mixed-parabolic equation // Differ. Uravn. – 1977. – Vol. 13. – P. 76-83. (In Russian)

Fayazov K.S., Khajiev I.O. Ill-posed initial-boundary value problem for a system of parabolic equations with changing time direction // Computing Technologies. – 2017. – Vol. 22, Issue 3. – P. 103-114. (In Russian)

Fayazov K.S., Khajiev I.O. Estimation of conditional stability of the boundary-value problem for the system of parabolic equations with changing direction of time // Reports on Mathematical Physics. – 2021. – Vol. 88, Issue 3. – P. 419-431. doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0034-4877(21)00089-6.

Fayazov K.S., Khajiev I.O. The ill-posed boundary value problem for a high-order differential equation with the degeneration line // Problems of Computational and Applied Mathematics. – 2022. – №2(39). – P. 122-129.

Khajiev I.O. Conditional stability of boundary value problem for a system of high-order mixed-type equations // Nauchniy vestnik. – Samarkand, 2022. – №3(22). – P. 60-67. (In Russian)

Fayazov K.S., Khudayberganov Y.K. Nonlocal boundary value problem for a nonhomogeneous parabolic type equation with two degenerate lines // Uzbek Mathematical Journal. – 2024. – Vol. 68, Issue 3. – P. 53-65. doi: http://dx.doi.org/10.29229/uzmj.2024-3-6.

Krein S.G. On correctness classes for certain boundary problems // Dokl. Akad. Nauk SSSR. – 1957. – №6. – P. 1162-1165. (In Russian)