Исследование динамики производных дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при старшей производной

Ч.Б. Нормуродов; Н.Т. Джураева; М.М. Норматова

doi:10.71310/pcam.4_68.2025.03

Авторы

Ч.Б. Нормуродов Термезский государственный университет Автор
Н.Т. Джураева Термезский государственный университет Автор
М.М. Норматова Термезский государственный университет Автор

DOI:

https://doi.org/10.71310/pcam.4_68.2025.03

Ключевые слова:

полиномы Чебышева, малый параметр, высокая точность

Аннотация

В статье спектральным методом исследуются динамика производных вплоть до старшей производной обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка малым параметром при старшей производной. Решение дифференциальной задачи ищется в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода с неизвестными коэффициентами разложения. Подставляя эти ряды в дифференциальную задачу получается система алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов разложения. Используя эти коэффициенты вычисляются решение задачи и ее производные. Для иллюстрации высокой точности применяемого метода используется метод пробных функций. Суть метода пробных функций заключается в следующим. Выбирается некоторая функция, она может быть выбрана произвольно. Подставляя ее в основное дифференциальное уравнение находится правая часть и удовлетворяются соответствующие краевые условия. Полученная задача решается спектральным методом и приближенное решение сравнивается с известной пробной функцией и ее производными при различных значениях малого параметра и аппроксимирующих полиномов Чебышева.

Библиографические ссылки

Il'in A.M. Raznostnaya skhema dlya differentsial'nogo uravneniya s malym parametrom pri starshey proizvodnoy Matem. Zametka. – 1969. №6(2). – S. 237–248. https://doi.org/10.1007/BF01093706

Bakhvalov N.S. K optimizatsii metodov resheniya krayevykh zadach pri nalichii pogranichnogo sloya. ZH.vychisl. matem. i matem.fiz., – 1969. – №9(4). – S. 841–859. https://doi.org/10.1016/0041-5553(69)90038-X

Liseykin V.D., Yanenko N.N. O ravnomerno skhodyashchemsya algoritme chislennogo resheniya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka s malym parametrom pri starshey proizvodnoy. Chislennyye metody mekhaniki sploshnoy sredy. Novosibirsk. – 1981. – №12(2). – S. 45–56. https://www.researchgate.net/publication/336890257_1981

Li J. Convergence analysis of finite element methods for singularly perturbed problems. Computers and Mathematics with Applications. – 2000. – №40(6). – P. 735–745. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(00)00192-9

Duan J.S, Jing L.X., Li M. The mixed boundary value problems and Chebyshev Collocation Method for Caputo-Type fractional ordinary differential equations. Fractal fract. – 2022. –№6(3). – P. 148–156. https://doi.org/10.3390/fractalfract6030148

Bouakkaz M., Arar N. Meflah M. Enhanced numerical resolution of the Duffing and Van der Pol equations via the spectral homotopy analysis method employing Chebyshev polynomials of the first kind. J. Appl. Math. Comput. – 2025. – Vol. 71. – P. 1159–1187. https://doi.org/10.1007/s12190-024-02271-5

Benzahi A., Arar N., Abada N., Rhaima M., Mchiri L., Ben Makhlouf A. Numerical investigation of Fredholm fractional integro-differential equations by least squares method and compact combination of shifted Chebyshev polynomials.J. Nonlinear Math.Physi. – 2023. – Vol. 30. – P. 1392–1408. https://doi.org/10.1007/s44198-023-00128-2

Van T., Lyan' KH., TSzi L. Metod razdeleniya singulyarnostey Chebysheva dlya slabo singulyarnykh integral'nykh uravneniy Vol'terry vtorogo roda. Numer Algor. – 2024. – Vol. 95. – S. 1829–1854. https://doi.org/10.1007/s11075-023-01629-3

Mishchuk A.Y., Shutovskyi A.M. Optimization Properties of Generalized Chebyshev-Poisson Integrals CybernSystAnal. – 2024. – Vol. 260. – P. 613–620. https://doi.org/10.1007/s10559-024-00700-8

Atta A.G., Youssri Y.H. Avanced shifted first – kind Chebyshev collocation approach for solving the nonlinear time-fractional partial integro-differential equation with a weakly singular kernel.Comp.Appl.Math. – 2022. – №41(381). – P. 1–19. https://doi.org/10.1007/s40314-022-02096-7

Khubedyy S.S. Priblizhennoye resheniye singulyarnogo integral'nogo uravneniya pervogo roda s ispol'zovaniyem mnogochlenov Chebysheva s nulevymi znacheniyami na obeikh konechnykh tochkakh intervala integrirovaniya. Vychisl. tekhn.Mat.i.Mat.Fiz. – 2021. – Vol. 61. – S. 1269–1275. https://doi.org/10.1134/S0965542521080030

Yadav A., Setia A., Agarval R. Analiz oshibok chislennogo metoda, osnovannogo na polinomakh Chebysheva, dlya sistemy gipersingulyarnykh integral'nykh uravneniy. Comp. Appl. Math. – 2023. – Vol. 42. – 213 p. https://doi.org/10.1007/s40314-023-02352-4

Rocha D., Brauer Z., Gershgorin Raspolozheniye nuley vozmushchennykh mnogochlenov Chebysheva vtorogo roda putem rasshireniya Math.Comput.Sci. – 2024. – №18(13). https://doi.org/10.1007/s11786-024-00582-1

Castillo K., Mbouna D., Petronilho J. A characterization of continuous q-Jacobi, Chebyshev of the first kind and Al-Salam Chihara polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications, – 2022. – №514(2). – P. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126358 .

Wang X., Hu J. An Identity Involving the Integral of the First-Kind Chebyshev Polynomials, Mathematical Problems in Engineering. – 2018. – Volum 2. – P. 1–5. https://doi.org/10.1155/2018/7186940 .

Dressler M., Foucart S., Joldes M., De Klerk E., Lasserre J.B., Xu Y. Least multivariate chebyshev polynomials on diagonally-determined domains. – 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.19219

G‥ulsu M., ‥ Ozt‥urk Y. Approximate solution of the singular-perturbation problem on Chebyshev-Gauss grid, – 2011. – Vol. 1. – P. 209–218. http://dx.doi.org/10.4236/ajcm.2011.14024

Dolbeeva S.F., Rozhdestvenskaya E.A. Contrasting step-type structures for an ordinary second-order differential equation with a small parameter at the highest derivative,J.Math.and Math.Phys. – 2009. №49(12). – P. 2034–2046. https://doi.org/10.1134/S0965542509120045

Denisov A.M. Iterative Method for Solving an Inverse Problem for a Hyperbolic Equation with a Small Parameter Multiplying the Highest Derivative Diff Equat. – 2019. – Vol. 55. – P. 940–948. https://doi.org/10.1134/S0012266119070073

Tsekhan O.B. Decomposition of singularly perturbed functional-differential systems based on a nondegenerate transformation.J Math Sci. – 2025. – Vol. 288. – P. 128–141. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07672-w

Danilin A.R. Asymptotics of the solution of a bisingular optimal distributed control problem in a convex domain with a small parameter multiplying a highest derivative Comput. Math. and Math. Phys. – 2024. – Vol. 64. – P. 941–953. https://doi.org/10.1134/S0965542524700210

Denisov A.M. The inverse problem for the heat equation in the case of a small heat capacity coefficient Comput Math Model. – 2023. – Vol. 34. – P. 208–216. https://doi.org/10.1007/s10598-025-09612-4

Normurodov Ch.B., Tursunova B.A. Numerical modeling of the boundary value problem of an ordinary differential equation with a small parameter at the highest derivative by Chebyshev polynomials of the second kind. Results in Applied mathematics. – 2023. – Vol.

https://doi.org/10.1016/j.rinam.2023.100388

Abutaliev F.B., Narmuradov Ch.B. Mathematical modeling of the problem of hydrodynamic stability. Tashkent: Fan va texnologiya: – 2011. – 188 p.

Narmuratov Ch.B. About one effective method for solving the Orr-Sommerfeld equation Math modeling. – 2005. – №9(17). – P. 35–42.

Normurodov Ch.B., Toyirov A.X., Ziyakulova Sh.A., Viswanathan K.K. Convergence of pectral-Grid Method for Byurgers equation with initial-boundary conditions. Mathematics and Statistics. – 2024. – №12(2). – P. 115–125. https://doi.org/10.13189/ms.2024.120201