Спектрально-сеточная аппроксимация обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной
DOI:
https://doi.org/10.71310/pcam.2_64.2025.05Ключевые слова:
спектрально-сеточный метод, число элементов и полиномов, малый параметр, высокая точность, эффективность, максимальные абсолютные по грешностиАннотация
В данной статье представлен высокоточный и эффективный спектрально-сеточный метод численного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при старшей производной. Метод основан на полиномах Чебышева первого рода и использовании разбиения интегрального интервала на несколько под отрезков, что позволяет обеспечить непрерывность решения и его производных до третьего порядка между элементами сетки. Это особенно важно при наличии пограничных слоев, возникающих из-за малого параметра при старшей производной, что делает задачу сингулярно возмущенной. В рамках работы проведен анализ точности и устойчивости метода на различных уровнях разбиения сетки и количества аппроксимирующих полиномов. Представлены численные эксперименты, демонстрирующие высокую точность вычисления как самого решения, так и его производных вплоть до четвёртого порядка, даже при весьма малых значениях параметра (до 10−9). Результаты показывают, что увеличение количества элементов сетки и полиномов приводит к геометрическому уменьшению абсолютных погрешностей, подтверждая сходимость предложенного подхода. Таким образом, предложенный спектрально-сеточный метод является не только эффективным с вычислительной точки зрения, но и достаточно универсальным для решения широкого класса задач, связанных с сингулярно возмущёнными дифференциальными уравнениями высокого порядка.
Библиографические ссылки
Suqin Chen and Yingwei Wang A rational spectral collocation method for third-order singularly perturbed problems. // Journal of Computational and Applied Mathematics.– 2016.– Vol 307.– P. 93–105.-doi:https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.03.009 .
Sharp N. and Manfred Trummer A Spectral Collocation Method for Systems of Singularly Perturbed Boundary Value Problems. // Procedia Computer Science.– 2017.– Vol 108. P. 725–734. doi: https://doi.org/10.1016/j.procs.2017.05.012.
Kareem T. Elgindy and Hareth M. Refat. High-order Gegenbauer integral spectral element method integrated with an adaptive Chebyshev optimization strategy for solving linear singularly perturbed differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics.– 2020.– Vol 372. doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112722.
Abdelhakem M. and Youssri Y.H. Two spectral Legendre’s derivative algorithms for Lane-Emden, Bratu equations, and singular perturbed problems // Applied Numerical Mathematics.– 2021.– Vol 169.– P. 243–255. doi: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.07.006
Arezoomandan M., Soheili A.R. Spectral collocation method for stochastic partial differential equations with fractional Brownian motion // Journal of Computational and Applied Mathematics.– 2021.– Vol 389 doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.113369
Reuben Rauch and Manfred R. Trummer and Williams J.F. A spectral collocation method for mixed functional differential equations // Applied Numerical Mathematics.– 2021. Vol 161.– P. 101–110.-doi: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.10.011.
Vishwanath B. Awati and Akash Goravar and Abeer H. Alzahrani and N.M. Bujurke and Ilyas Khan Convective heating and mass transfer in Buongiorno model of nanofluid using spectral collocation method of shifted Chebyshev polynomial // International Journal of Thermofluids.– 2023.– Vol 20 doi: https://doi.org/10.1016/j.ijft.2023.100471
Zheng W. and Chen Y. and Zhou J. A Legendre spectral method for multidimensional partial Volterra integro-differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics.– 2024.– Vol 436.– doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2023.115302
Liu X., Yang Y. Strong convergence analysis of spectral fractional diffusion equation driven by Gaussian noise with Hurst parameter less than 1/2. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.– 2024.– Vol 135. doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2024.108049
Tiantong Zhao and Tiangui Ye and Yuehua Chen and Guoyong Jin and Zhigang Liu. Single domain Chebyshev spectral method for analyses of the vibroacoustic characteristics of baffled irregularly shaped plates. // Journal of Sound and Vibration.– 2024.– Vol 592. doi: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2024.118627
Anna Piterskaya and Mikael Mortensen A study of the Orr–Sommerfeld and induction equations by Galerkin and Petrov–Galerkin spectral methods utilizing Chebyshev polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics– 2025.– Vol 459. doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2024.116374
Abd-Elhameed W.M. and Alsuyuti M.M. New spectral algorithm for fractional delay pantograph equation using certain orthogonal generalized Chebyshev polynomials // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.– 2025.– Vol 141. doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2024.108479
Qizhi Mao and Yukun Chen and Guoyong Jin and Tiangui Ye and Yantao Zhang An extended Chebyshev spectral method for vibration analysis of rotating cracked plates. // Mechanical Systems and Signal Processing.– 2025.– Vol 229. doi: https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2025.112558
Normurodov Ch.B., Tursunova B.A. Numerical modeling of the boundary value problem of an ordinary differential equation with a small parameter at the highest derivative by Chebyshev polynomials of the second kind // Results in Applied Mathematics– 2023. Vol 19. doi: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2023.100388
Нормуродов Ч.Б., Подгаев А.Г. Сходимость спектрально-сеточного метода // Узбек ский математический журнал Ташкент,– 2003.– №2.– С. 64–71.
Нормуродов Ч.Б. Об одном эффективном методе решения уравнения Орра Зоммерфельда // Математическое моделирование. Москва,– 2005.– №9(17).– С.35–42.
Нормуродов Ч.Б. Математическое моделирование гидродинамических задач для двух фазных плоскопараллелных течений // Математическое моделирование.-Москва, 2007.– №6(19).– С. 53–60.
Normurodov Ch.B., Toyirov A.Kh., Ziyakulova Sh.A., Visvanathan K.K. Convergence of Spectral-Grid Method for Burgers equation with initial-boundary conditions. // Mathematics and Statistics.– 2024. 12(2):– P. 115–125. DOI:10.13189/ms.2024.120201. Available at: http://www.hrpub.org.
Самарский А.А. Теория разностных схем. // М.: Наука,– 1977.– 656 с. [20] Normurodov Ch.B., Abduraximov B.F., Djurayeva N.T. On estimating the rate of convergence of the initial integration method. // AIP Conf. Proc. 3244, 020061– 2024. https://doi.org/10.1063/5.0242041
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
